Номер 1398, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1398, страница 263.

Условие.

1398. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) $(a + 4)^2 - 2(a + 4) + 1;$

2) $(3b + 2)^2 + 4(3b + 2) + 4;$

3) $(3y + 8)^2 + (4y + 6)^2 + 4y;$

4) $(x - 5y)^2 + (x + 12y)^2 - x(x - 12y).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(a + 4)^2 - 2(a + 4) + 1$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
В данном выражении можно заметить, что оно соответствует этой формуле, если сделать замену. Пусть $x = (a + 4)$ и $y = 1$.
Тогда выражение принимает вид:
$(a + 4)^2 - 2 \cdot (a + 4) \cdot 1 + 1^2$
Теперь свернем его по формуле квадрата разности:
$((a + 4) - 1)^2$
Упростим выражение в скобках:
$(a + 4 - 1)^2 = (a + 3)^2$
Ответ: $(a + 3)^2$

2) $(3b + 2)^2 + 4(3b + 2) + 4$

Здесь мы применим формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.
Представим выражение в виде, который соответствует формуле. Заметим, что $4 = 2^2$, а $4(3b + 2) = 2 \cdot 2 \cdot (3b + 2)$.
Сделаем замену: пусть $x = (3b + 2)$ и $y = 2$.
Выражение принимает вид:
$(3b + 2)^2 + 2 \cdot (3b + 2) \cdot 2 + 2^2$
Свернем его по формуле квадрата суммы:
$((3b + 2) + 2)^2$
Упростим выражение в скобках:
$(3b + 2 + 2)^2 = (3b + 4)^2$
Ответ: $(3b + 4)^2$

3) $(3y + 8)^2 + (4y + 6)^2 + 4y$

В этом случае сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(3y + 8)^2 = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot 8 + 8^2 = 9y^2 + 48y + 64$
$(4y + 6)^2 = (4y)^2 + 2 \cdot 4y \cdot 6 + 6^2 = 16y^2 + 48y + 36$
Теперь подставим раскрытые выражения обратно в исходное и приведем подобные слагаемые:
$(9y^2 + 48y + 64) + (16y^2 + 48y + 36) + 4y = $
$= (9y^2 + 16y^2) + (48y + 48y + 4y) + (64 + 36) = $
$= 25y^2 + 100y + 100$
Теперь нужно представить полученный трехчлен в виде квадрата двучлена. Вынесем общий множитель 25 за скобки:
$25(y^2 + 4y + 4)$
Выражение в скобках является полным квадратом: $y^2 + 4y + 4 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y + 2)^2$.
Получаем: $25(y + 2)^2$.
Так как $25 = 5^2$, мы можем записать все выражение как один квадрат:
$5^2(y + 2)^2 = (5(y + 2))^2 = (5y + 10)^2$
Ответ: $(5y + 10)^2$

4) $(x - 5y)^2 + (x + 12y)^2 - x(x - 12y)$

Раскроем все скобки в выражении. Для первых двух используем формулы квадрата разности и квадрата суммы, а для третьего — распределительный закон.
$(x - 5y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5y + (5y)^2 = x^2 - 10xy + 25y^2$
$(x + 12y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 12y + (12y)^2 = x^2 + 24xy + 144y^2$
$-x(x - 12y) = -x^2 + 12xy$
Теперь сложим все полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - 10xy + 25y^2) + (x^2 + 24xy + 144y^2) + (-x^2 + 12xy) = $
$= (x^2 + x^2 - x^2) + (-10xy + 24xy + 12xy) + (25y^2 + 144y^2) = $
$= x^2 + 26xy + 169y^2$
Полученный трехчлен является полным квадратом. Проверим это по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Первый член $x^2 = (x)^2$.
Третий член $169y^2 = (13y)^2$.
Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot x \cdot 13y = 26xy$. Это совпадает со вторым членом нашего выражения.
Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат суммы:
$x^2 + 26xy + 169y^2 = (x + 13y)^2$
Ответ: $(x + 13y)^2$