Номер 1405, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1405, страница 263.

Условие.

1405. Делится ли значение выражения $654^3 - 554^3$ нацело на 200?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы ответить на вопрос, делится ли значение выражения $654^3 - 554^3$ нацело на 200, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 654$ и $b = 554$:

$654^3 - 554^3 = (654 - 554)(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$

Сначала вычислим значение первого множителя (разность чисел в скобках):

$654 - 554 = 100$

Теперь выражение принимает вид:

$100 \cdot (654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$

Для того чтобы это выражение делилось на 200, оно должно быть кратно 200. Мы можем представить 200 как $100 \cdot 2$. Наше выражение уже содержит множитель 100. Следовательно, нам нужно доказать, что второй множитель, $(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$, является четным числом, то есть делится на 2.

Проанализируем четность каждого слагаемого во втором множителе:

1. Число 654 является четным. Квадрат четного числа всегда является четным. Значит, $654^2$ — четное число.

2. Произведение $654 \cdot 554$ является произведением двух четных чисел, что всегда дает в результате четное число.

3. Число 554 является четным. Квадрат этого числа, $554^2$, также является четным.

Сумма трех четных чисел ($(четное) + (четное) + (четное)$) всегда дает в результате четное число. Таким образом, выражение в скобках $(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)$ делится на 2.

Это означает, что мы можем представить второй множитель как $2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда все выражение равно $100 \cdot (2k) = 200k$.

Любое число вида $200k$ по определению делится нацело на 200.

Ответ: да, значение выражения делится нацело на 200.