Номер 1406, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1406, страница 263.

Условие.

1406. Разложите на множители:

1) $ (a - b)(a + b) - c(c - 2b); $

2) $ (b - c)(b + c) - a(a + 2c). $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Разложим на множители выражение $(a - b)(a + b) - c(c - 2b)$.

Сначала используем формулу разности квадратов для первого слагаемого $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ и раскроем скобки во втором слагаемом:

$(a - b)(a + b) - c(c - 2b) = a^2 - b^2 - c(c - 2b) = a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$.

Теперь перегруппируем полученные члены. Мы видим, что слагаемые $-b^2 - c^2 + 2bc$ можно сгруппировать, вынеся знак минус за скобки:

$a^2 + (-b^2 + 2bc - c^2) = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)$.

Выражение в скобках, $b^2 - 2bc + c^2$, является полным квадратом разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Таким образом, $b^2 - 2bc + c^2 = (b - c)^2$.

Подставим это обратно в наше выражение:

$a^2 - (b - c)^2$.

Мы получили новую разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a$ и $y = (b - c)$.

$a^2 - (b - c)^2 = (a - (b - c))(a + (b - c))$.

Наконец, раскроем внутренние скобки, чтобы получить окончательный ответ:

$(a - b + c)(a + b - c)$.

Ответ: $(a - b + c)(a + b - c)$.

2) Разложим на множители выражение $(b - c)(b + c) - a(a + 2c)$.

Как и в предыдущем примере, начнем с применения формулы разности квадратов и раскрытия скобок:

$(b - c)(b + c) - a(a + 2c) = b^2 - c^2 - (a^2 + 2ac) = b^2 - c^2 - a^2 - 2ac$.

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат. Сгруппируем члены, содержащие $a$ и $c$:

$b^2 - (a^2 + 2ac + c^2)$.

Выражение в скобках, $a^2 + 2ac + c^2$, является полным квадратом суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Таким образом, $a^2 + 2ac + c^2 = (a + c)^2$.

Подставим это в наше выражение:

$b^2 - (a + c)^2$.

Это выражение также является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = b$ и $y = (a + c)$.

$b^2 - (a + c)^2 = (b - (a + c))(b + (a + c))$.

Раскроем внутренние скобки для получения конечного результата:

$(b - a - c)(b + a + c)$.

Ответ: $(b - a - c)(b + a + c)$.