Номер 1411, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1411, страница 264.

Условие.

1411. Докажите, что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства этого утверждения введем переменные. Пусть среднее из трёх последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда первое (меньшее) число будет $n-1$, а третье (большее) — $n+1$. Поскольку все три числа должны быть натуральными, наименьшее из них, $n-1$, должно быть не меньше 1. Это означает, что $n \ge 2$, где $n$ — натуральное число.

Теперь переведем условие задачи на язык математики. Нам нужно доказать, что сумма произведения этих трёх чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.

• Произведение трёх последовательных чисел: $(n-1) \cdot n \cdot (n+1)$.
• Среднее из этих чисел: $n$.
• Сумма произведения и среднего числа: $(n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n$.
• Куб среднего числа: $n^3$.

Таким образом, мы должны доказать следующее тождество: $(n-1)n(n+1) + n = n^3$.

Преобразуем левую часть этого равенства. Для удобства сгруппируем первый и третий множители и применим к ним формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.

Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного тождества: $n \cdot (n^2 - 1) + n$.

Раскроем скобки, умножив $n$ на каждый член двучлена: $n \cdot n^2 - n \cdot 1 + n = n^3 - n + n$.

В полученном выражении слагаемые $-n$ и $+n$ являются противоположными, и их сумма равна нулю. Таким образом, они взаимно уничтожаются: $n^3 - n + n = n^3$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства $n^3$ тождественно равна правой части $n^3$. Это доказывает истинность исходного утверждения для любого натурального $n \ge 2$.

Ответ: Утверждение доказано. Алгебраические преобразования показывают, что выражение $(n-1)n(n+1) + n$ тождественно равно $n^3$: $(n-1)n(n+1) + n = n(n^2-1) + n = n^3-n+n=n^3$.