Номер 1418, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1418, страница 264.

Условие.

1418. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n^7 - n$ кратно 42.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что выражение $n^7 - n$ кратно 42 при любом натуральном $n$, нужно показать, что оно делится на 2, 3 и 7, поскольку $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, а эти числа являются взаимно простыми.

Для начала разложим данное выражение на множители:

$n^7 - n = n(n^6 - 1) = n(n^2 - 1)(n^4 + n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^4 + n^2 + 1)$.

Множители $(n-1)$, $n$ и $(n+1)$ представляют собой произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел всегда есть хотя бы одно четное (делящееся на 2) и ровно одно число, делящееся на 3. Так как числа 2 и 3 взаимно просты, то их произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$. Следовательно, и все выражение $n^7-n$, содержащее это произведение, делится на 6.

Теперь докажем делимость на 7. Согласно Малой теореме Ферма, если $p$ — простое число, то для любого целого числа $n$ выражение $n^p - n$ делится на $p$. В нашем случае $p = 7$, которое является простым числом. Следовательно, выражение $n^7 - n$ всегда делится на 7 при любом натуральном $n$.

Можно доказать делимость на 7 и другим способом, рассмотрев все возможные остатки от деления $n$ на 7. Используем другую факторизацию: $n^7 - n = n(n^3 - 1)(n^3 + 1)$.

Если $n$ делится на 7, то и все выражение делится на 7. Рассмотрим случаи, когда $n$ не делится на 7:

1. Если $n$ при делении на 7 дает в остатке 1, 2 или 4, то $n^3$ при делении на 7 дает в остатке 1 (например, $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$; $4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{7}$). В этом случае множитель $(n^3 - 1)$ будет делиться на 7.

2. Если $n$ при делении на 7 дает в остатке 3, 5 или 6, то $n^3$ при делении на 7 дает в остатке 6 (или -1) (например, $3^3 = 27 \equiv -1 \pmod{7}$; $5^3 = 125 \equiv -1 \pmod{7}$). В этом случае множитель $(n^3 + 1)$ будет делиться на 7.

Таким образом, при любом натуральном $n$ один из множителей выражения $n(n^3-1)(n^3+1)$ обязательно делится на 7, а значит, и все выражение делится на 7.

Поскольку выражение $n^7 - n$ делится и на 6, и на 7, а числа 6 и 7 взаимно просты, то оно делится на их произведение $6 \cdot 7 = 42$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n^7-n$ кратно 42, доказано.