Номер 1421, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1421, страница 265.

Условие.

1421. При всех положительных значениях аргумента значение функции $f$ равно $-1$, при всех отрицательных $-$ равно $1$, а $f(0) = 0$. Постройте график функции $f$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Согласно условию задачи, функция $f$ определена для всех действительных значений аргумента $x$. Определение функции дано по частям, в зависимости от знака аргумента.

1. Если аргумент $x$ — положительное число ($x > 0$), то значение функции $f(x)$ равно $-1$. На координатной плоскости это соответствует множеству точек $(x, -1)$ при $x > 0$.

2. Если аргумент $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то значение функции $f(x)$ равно $1$. На координатной плоскости это соответствует множеству точек $(x, 1)$ при $x < 0$.

3. Если аргумент $x$ равен нулю ($x = 0$), то значение функции $f(0)$ равно $0$. Это соответствует точке $(0, 0)$ — началу координат.

Таким образом, функцию $f$ можно записать в виде кусочно-заданной функции:

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Для построения графика этой функции на координатной плоскости $xOy$ необходимо изобразить три его составные части:

- Для всех $x < 0$ график представляет собой открытый луч, лежащий на прямой $y=1$. Этот луч начинается в точке $(0, 1)$ и идет влево. Сама точка $(0, 1)$ не включается в график, так как условие строгое ($x < 0$). На графике такие точки принято обозначать "выколотыми" или пустыми кружками.

- Для $x = 0$ график представляет собой одну точку — начало координат $(0, 0)$. Эта точка принадлежит графику.

- Для всех $x > 0$ график представляет собой открытый луч, лежащий на прямой $y=-1$. Этот луч начинается в точке $(0, -1)$ и идет вправо. Точка $(0, -1)$ также является "выколотой", так как условие строгое ($x > 0$).

Ответ: График функции $f$ состоит из трех частей: 1) открытого луча $y=1$ для всех $x < 0$ (все точки прямой $y=1$ левее оси $Oy$); 2) точки $(0, 0)$ (начало координат); 3) открытого луча $y=-1$ для всех $x > 0$ (все точки прямой $y=-1$ правее оси $Oy$). Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ не принадлежат графику.