Номер 1414, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1414, страница 264.

Условие.

1414. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16$ равно квадрату некоторого натурального числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что выражение $n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16$ является квадратом натурального числа при любом натуральном $n$, выполним алгебраические преобразования.

Сначала сгруппируем множители в выражении. Удобнее всего перемножить первый множитель с последним, а второй с третьим. Это позволит нам получить похожие выражения.

$n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 = [n(n + 6)] \cdot [(n + 2)(n + 4)] + 16$

Теперь выполним умножение в каждой из пар скобок:

$n(n + 6) = n^2 + 6n$

$(n + 2)(n + 4) = n^2 + 4n + 2n + 8 = n^2 + 6n + 8$

Подставим результаты обратно в исходное выражение:

$(n^2 + 6n)(n^2 + 6n + 8) + 16$

Для упрощения введем замену переменной. Пусть $x = n^2 + 6n$. Тогда выражение примет вид:

$x(x + 8) + 16$

Раскроем скобки:

$x^2 + 8x + 16$

Полученный трёхчлен является полным квадратом, так как соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=4$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $n^2 + 6n$ вместо $x$:

$(x + 4)^2 = (n^2 + 6n + 4)^2$

Мы показали, что исходное выражение равно $(n^2 + 6n + 4)^2$.

По условию задачи $n$ является натуральным числом, то есть $n \ge 1$. Это означает, что выражение $n^2 + 6n + 4$ также будет натуральным числом, поскольку оно является суммой натуральных чисел (или их степеней) и положительного числа 4. Например, при наименьшем натуральном $n=1$ получаем $1^2 + 6 \cdot 1 + 4 = 11$, что является натуральным числом.

Таким образом, при любом натуральном $n$ значение выражения $n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16$ равно квадрату натурального числа $n^2 + 6n + 4$, что и требовалось доказать.

Ответ: данное выражение можно представить в виде $(n^2 + 6n + 4)^2$. Поскольку $n$ — натуральное число, то и $n^2 + 6n + 4$ является натуральным числом. Следовательно, исходное выражение всегда равно квадрату некоторого натурального числа.