Номер 1412, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1412, страница 264.

Условие.

1412. Пусть $x + y = a$, $xy = b$. Докажите, что:

1) $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$

2) $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$

3) $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Для доказательства воспользуемся известной формулой квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Из этой формулы выразим сумму квадратов $x^2 + y^2$:
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
По условию задачи дано, что $x + y = a$ и $xy = b$. Подставим эти значения в полученное выражение:
$x^2 + y^2 = a^2 - 2b$, что и требовалось доказать.

Ответ: $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$.

2)

Воспользуемся формулой куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Сгруппируем слагаемые и вынесем за скобки общий множитель $3xy$:
$(x + y)^3 = (x^3 + y^3) + 3xy(x + y)$.
Выразим из этого равенства сумму кубов $x^3 + y^3$:
$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$.
Подставим известные по условию значения $x + y = a$ и $xy = b$:
$x^3 + y^3 = a^3 - 3b \cdot a = a^3 - 3ab$, что и требовалось доказать.

Ответ: $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$.

3)

Чтобы доказать третье тождество, представим $x^4 + y^4$ в виде суммы квадратов: $x^4 + y^4 = (x^2)^2 + (y^2)^2$.
Теперь мы можем применить формулу для суммы квадратов, которую вывели в первом пункте, подставив в нее $x^2$ вместо $x$ и $y^2$ вместо $y$:
$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$.
Из доказательства в пункте 1) мы знаем, что $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$. По условию задачи $xy = b$. Подставим эти выражения в нашу формулу:
$x^4 + y^4 = (a^2 - 2b)^2 - 2(b)^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:
$x^4 + y^4 = ((a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot (2b) + (2b)^2) - 2b^2 = (a^4 - 4a^2b + 4b^2) - 2b^2$.
Приведем подобные слагаемые и получим окончательный результат:
$x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$.