Номер 1416, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1416, страница 264.

Условие.

1416. Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения $n^4 - 1$ делится нацело на 5.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать данное утверждение, можно воспользоваться несколькими методами.

Способ 1: Метод разбора случаев по остаткам от деления на 5

По условию, натуральное число n не кратно 5. Это означает, что при делении числа n на 5 могут получаться остатки 1, 2, 3 или 4. Рассмотрим каждый из этих возможных случаев.

• Случай 1. Остаток от деления n на 5 равен 1.
  В этом случае последняя цифра числа n — это 1 или 6. Тогда последняя цифра числа $n^4$ будет $1$ (например, $1^4=1$, $6^4=1296$, $11^4$ оканчивается на 1). Следовательно, выражение $n^4-1$ оканчивается на $1-1=0$, а значит, делится на 5.
• Случай 2. Остаток от деления n на 5 равен 2.
  В этом случае последняя цифра числа n — это 2 или 7. Тогда последняя цифра числа $n^4$ будет $6$ (для 2) или $1$ (для 7), так как $2^4=16$ и $7^4=2401$. В обоих случаях $n^4$ при делении на 5 дает остаток 1. Следовательно, $n^4-1$ будет делиться на 5.
• Случай 3. Остаток от деления n на 5 равен 3.
  В этом случае последняя цифра числа n — это 3 или 8. Тогда последняя цифра числа $n^4$ будет $1$ (для 3) или $6$ (для 8), так как $3^4=81$ и $8^4=4096$. В обоих случаях $n^4$ при делении на 5 дает остаток 1. Следовательно, $n^4-1$ будет делиться на 5.
• Случай 4. Остаток от деления n на 5 равен 4.
  В этом случае последняя цифра числа n — это 4 или 9. Тогда последняя цифра числа $n^4$ будет $6$ (для 4) или $1$ (для 9), так как $4^4=256$ и $9^4=6561$. В обоих случаях $n^4$ при делении на 5 дает остаток 1. Следовательно, $n^4-1$ будет делиться на 5.

Мы рассмотрели все возможные случаи для натурального n, не кратного 5, и в каждом из них показали, что значение выражения $n^4-1$ делится на 5. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

---

Способ 2: Алгебраические преобразования

Разложим данное выражение $n^4-1$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$n^4 - 1 = (n^2)^2 - 1^2 = (n^2 - 1)(n^2 + 1)$

Применим формулу разности квадратов еще раз к первому множителю:

$(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$

Проведем следующее преобразование со вторым множителем: $n^2 + 1 = n^2 - 4 + 5$.

Тогда выражение примет вид:

$(n - 1)(n + 1)(n^2 - 4 + 5) = (n - 1)(n + 1)(n^2 - 4) + 5(n - 1)(n + 1)$

Разложим множитель $(n^2 - 4)$ на множители:

$(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5(n^2 - 1)$

Перегруппируем множители в первом слагаемом, чтобы получить произведение последовательных чисел:

$(n - 2)(n - 1)(n + 1)(n + 2) + 5(n^2 - 1)$

Теперь проанализируем полученную сумму:

1. Второе слагаемое $5(n^2-1)$ очевидно делится на 5, так как содержит множитель 5.
2. Первое слагаемое представляет собой произведение четырех целых чисел, окружающих n. Рассмотрим пять последовательных целых чисел: $(n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2)$. Среди любых пяти последовательных чисел одно обязательно делится на 5. По условию, n на 5 не делится. Значит, на 5 должно делиться одно из чисел: $(n-2), (n-1), (n+1)$ или $(n+2)$. Следовательно, их произведение $(n - 2)(n - 1)(n + 1)(n + 2)$ делится на 5.

Так как оба слагаемых суммы делятся на 5, то и вся сумма делится на 5. А эта сумма равна исходному выражению $n^4-1$.

Ответ: Утверждение доказано.

---

Способ 3: С помощью Малой теоремы Ферма

Малая теорема Ферма утверждает, что если p — простое число, то для любого целого числа a, не делящегося на p, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В нашей задаче $p = 5$, что является простым числом. По условию, натуральное число n не делится на 5. Таким образом, все условия Малой теоремы Ферма выполнены.

Применяя теорему для $a=n$ и $p=5$, получаем:

$n^{5-1} \equiv 1 \pmod{5}$

$n^4 \equiv 1 \pmod{5}$

Это сравнение означает, что $n^4$ дает остаток 1 при делении на 5, то есть разность $n^4 - 1$ делится на 5 нацело.

Ответ: Утверждение доказано.