Номер 1413, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1413, страница 264.

Условие.

1413. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ равно квадрату некоторого натурального числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Обозначим его за $A$.

$A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$

Сгруппируем множители следующим образом: перемножим первый с четвертым и второй с третьим.

$A = [n(n + 3)] \cdot [(n + 1)(n + 2)] + 1$

Раскроем скобки внутри каждой группы:

$n(n + 3) = n^2 + 3n$

$(n + 1)(n + 2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Теперь подставим полученные выражения обратно в $A$:

$A = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$

Для упрощения дальнейших вычислений введем замену. Пусть $t = n^2 + 3n$. Тогда выражение $A$ примет вид:

$A = t(t + 2) + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$A = t^2 + 2t + 1$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=t$ и $b=1$.

$A = (t + 1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = n^2 + 3n$:

$A = (n^2 + 3n + 1)^2$

Мы показали, что исходное выражение равно квадрату выражения $n^2 + 3n + 1$.

По условию задачи, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Проверим, является ли выражение $n^2 + 3n + 1$ натуральным числом.
Если $n$ — натуральное число, то $n^2$ — натуральное число, и $3n$ — также натуральное число. Сумма двух натуральных чисел $n^2 + 3n$ является натуральным числом. Прибавление 1 к натуральному числу также дает натуральное число.
Следовательно, $n^2 + 3n + 1$ является натуральным числом при любом натуральном $n$.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$ при любом натуральном $n$ равно квадрату натурального числа $n^2 + 3n + 1$.

Ответ: Выражение $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$ тождественно равно $(n^2 + 3n + 1)^2$. Так как $n$ — натуральное число, то $n^2 + 3n + 1$ также является натуральным числом. Следовательно, исходное выражение при любом натуральном $n$ равно квадрату некоторого натурального числа, что и требовалось доказать.