Страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1421. При всех положительных значениях аргумента значение функции $f$ равно $-1$, при всех отрицательных $-$ равно $1$, а $f(0) = 0$. Постройте график функции $f$.

Согласно условию задачи, функция $f$ определена для всех действительных значений аргумента $x$. Определение функции дано по частям, в зависимости от знака аргумента.

1. Если аргумент $x$ — положительное число ($x > 0$), то значение функции $f(x)$ равно $-1$. На координатной плоскости это соответствует множеству точек $(x, -1)$ при $x > 0$.

2. Если аргумент $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то значение функции $f(x)$ равно $1$. На координатной плоскости это соответствует множеству точек $(x, 1)$ при $x < 0$.

3. Если аргумент $x$ равен нулю ($x = 0$), то значение функции $f(0)$ равно $0$. Это соответствует точке $(0, 0)$ — началу координат.

Таким образом, функцию $f$ можно записать в виде кусочно-заданной функции:

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Для построения графика этой функции на координатной плоскости $xOy$ необходимо изобразить три его составные части:

- Для всех $x < 0$ график представляет собой открытый луч, лежащий на прямой $y=1$. Этот луч начинается в точке $(0, 1)$ и идет влево. Сама точка $(0, 1)$ не включается в график, так как условие строгое ($x < 0$). На графике такие точки принято обозначать "выколотыми" или пустыми кружками.

- Для $x = 0$ график представляет собой одну точку — начало координат $(0, 0)$. Эта точка принадлежит графику.

- Для всех $x > 0$ график представляет собой открытый луч, лежащий на прямой $y=-1$. Этот луч начинается в точке $(0, -1)$ и идет вправо. Точка $(0, -1)$ также является "выколотой", так как условие строгое ($x > 0$).

Ответ: График функции $f$ состоит из трех частей: 1) открытого луча $y=1$ для всех $x < 0$ (все точки прямой $y=1$ левее оси $Oy$); 2) точки $(0, 0)$ (начало координат); 3) открытого луча $y=-1$ для всех $x > 0$ (все точки прямой $y=-1$ правее оси $Oy$). Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ не принадлежат графику.

1422. Найдите координаты точки графика функции $y = 6x - 5$:

1) абсцисса и ордината которой равны между собой;

2) сумма координат которой равна 30.

1) абсцисса и ордината которой равны между собой;

Дана функция $y = 6x - 5$. Мы ищем точку на графике этой функции, у которой абсцисса (координата $x$) равна ординате (координата $y$).
Это условие можно записать в виде уравнения: $y = x$.
Чтобы найти координаты такой точки, нужно решить систему уравнений: $ \begin{cases} y = 6x - 5 \\ y = x \end{cases} $
Подставим второе уравнение в первое: $x = 6x - 5$
Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$5 = 6x - x$
$5 = 5x$
$x = 1$
Так как $y = x$, то $y$ также равен 1.
Таким образом, искомая точка имеет координаты $(1, 1)$.
Проверим: подставим $x=1$ в исходное уравнение функции: $y = 6(1) - 5 = 6 - 5 = 1$. Координаты равны, и точка принадлежит графику.
Ответ: $(1, 1)$.

2) сумма координат которой равна 30.

В этом случае мы ищем точку $(x, y)$ на графике функции $y = 6x - 5$, для которой выполняется условие: $x + y = 30$.
Мы снова имеем систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = 6x - 5 \\ x + y = 30 \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x + (6x - 5) = 30$
Решим полученное уравнение:
$7x - 5 = 30$
$7x = 30 + 5$
$7x = 35$
$x = \frac{35}{7}$
$x = 5$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 5$ в первое уравнение:
$y = 6(5) - 5 = 30 - 5 = 25$
Искомая точка имеет координаты $(5, 25)$.
Проверим: точка $(5, 25)$ лежит на графике, так как $25 = 6(5) - 5$. Сумма координат равна $5 + 25 = 30$. Условие выполнено.
Ответ: $(5, 25)$.

1423.При каком значении $a$ через точку $M (3; -2)$ проходит график функции:

1) $y = ax-8;$

2) $y = \frac{1}{3}x - a?$

1)

Чтобы график функции $y = ax - 8$ проходил через точку $M(3; -2)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = 3$ и $y = -2$ в уравнение:

$-2 = a \cdot 3 - 8$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$3a = -2 + 8$

$3a = 6$

$a = \frac{6}{3}$

$a = 2$

Ответ: $a = 2$.

2)

Аналогично, чтобы график функции $y = \frac{1}{3}x - a$ проходил через точку $M(3; -2)$, подставим ее координаты $x = 3$ и $y = -2$ в уравнение функции:

$-2 = \frac{1}{3} \cdot 3 - a$

Упростим правую часть и решим уравнение относительно $a$:

$-2 = 1 - a$

$a = 1 - (-2)$

$a = 1 + 2$

$a = 3$

Ответ: $a = 3$.

1424. вляется ли линейной функция:

1) $f(x) = (x - 1)(x + 1) - x(x - 3);$

2) $f(x) = (2x - 3)^2 - (x + 4)(x - 2);$

3) $f(x) = (x + 3)^2 - x(x + 6)?$

В случае утвердительного ответа постройте её график.

1) $f(x) = (x - 1)(x + 1) - x(x - 3)$
Чтобы определить, является ли функция линейной, необходимо привести ее к виду $y = kx + b$. Для этого упростим данное выражение, раскрыв скобки.
Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для первого произведения и распределительный закон для второго:
$f(x) = (x^2 - 1^2) - (x \cdot x - x \cdot 3) = (x^2 - 1) - (x^2 - 3x)$
Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:
$f(x) = x^2 - 1 - x^2 + 3x = (x^2 - x^2) + 3x - 1 = 3x - 1$
Полученная функция $f(x) = 3x - 1$ является линейной, так как она имеет вид $y = kx + b$, где коэффициент $k=3$ и $b=-1$.
Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек.

1. Пусть $x = 0$, тогда $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
2. Пусть $x = 2$, тогда $y = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$. Получаем точку $(2, 5)$.

Отмечаем эти две точки на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Ответ: Да, функция является линейной. Ее уравнение $f(x) = 3x - 1$. График — прямая линия, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(2, 5)$.

2) $f(x) = (2x - 3)^2 - (x + 4)(x - 2)$
Упростим данное выражение. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и правило умножения многочленов:
$f(x) = ((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2) - (x^2 - 2x + 4x - 8)$
$f(x) = (4x^2 - 12x + 9) - (x^2 + 2x - 8)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$f(x) = 4x^2 - 12x + 9 - x^2 - 2x + 8 = (4x^2 - x^2) + (-12x - 2x) + (9 + 8) = 3x^2 - 14x + 17$
Выражение $f(x) = 3x^2 - 14x + 17$ содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Следовательно, эта функция не является линейной. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Ответ: Нет, функция не является линейной.

3) $f(x) = (x + 3)^2 - x(x + 6)$
Упростим данное выражение. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и распределительный закон:
$f(x) = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - (x \cdot x + x \cdot 6)$
$f(x) = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 + 6x)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$f(x) = x^2 + 6x + 9 - x^2 - 6x = (x^2 - x^2) + (6x - 6x) + 9 = 9$
Получили функцию $f(x) = 9$. Ее можно записать в виде $f(x) = 0 \cdot x + 9$. Это линейная функция, где $k=0$ и $b=9$.
Графиком данной функции является прямая $y = 9$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку $(0, 9)$ на оси ординат (Oy).

Ответ: Да, функция является линейной. Ее уравнение $f(x) = 9$. График — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 9)$.

1425. Графики функций $y = (5 - a)x + a$ и $y = ax + 2$ пересекаются в точке, абсцисса которой равна $-3$. Найдите ординату этой точки.

Поскольку графики функций пересекаются, в точке пересечения их координаты $x$ и $y$ совпадают. Нам даны две функции:

$y = (5 - a)x + a$

$y = ax + 2$

Так как в точке пересечения значения $y$ для обеих функций равны, мы можем приравнять правые части уравнений:

$(5 - a)x + a = ax + 2$

Из условия задачи мы знаем, что абсцисса (координата $x$) точки пересечения равна -3. Подставим значение $x = -3$ в полученное равенство, чтобы найти параметр $a$:

$(5 - a)(-3) + a = a(-3) + 2$

Теперь решим это уравнение относительно $a$. Сначала раскроем скобки:

$-15 + 3a + a = -3a + 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-15 + 4a = -3a + 2$

Перенесем все слагаемые с $a$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$4a + 3a = 2 + 15$

$7a = 17$

$a = \frac{17}{7}$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, мы можем вычислить ординату (координату $y$) точки пересечения. для этого подставим известные значения $a = \frac{17}{7}$ и $x = -3$ в любое из двух исходных уравнений. Удобнее использовать второе уравнение, $y = ax + 2$:

$y = \left(\frac{17}{7}\right) \cdot (-3) + 2$

$y = -\frac{51}{7} + 2$

Чтобы выполнить сложение, приведем число 2 к знаменателю 7: $2 = \frac{14}{7}$.

$y = -\frac{51}{7} + \frac{14}{7}$

$y = \frac{-51 + 14}{7}$

$y = -\frac{37}{7}$

Ордината точки пересечения равна $-\frac{37}{7}$, что также можно записать в виде смешанной дроби $-5\frac{2}{7}$.

Ответ: $-\frac{37}{7}$

1426. Постройте график функции $y = 2x + 3$. Пользуясь графиком, найдите значения аргумента, при которых значение функции:

1) равно 5;

2) больше 5;

3) меньше 5;

4) больше $-3$, но меньше 7.

Для построения графика функции $y = 2x + 3$ определим, что это линейная функция, и ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью Y. Для этого примем $x = 0$:
$y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$.
Получили точку $(0; 3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью X. Для этого примем $y = 0$:
$0 = 2x + 3$
$2x = -3$
$x = -1.5$.
Получили точку $(-1.5; 0)$.

Теперь построим на координатной плоскости прямую, проходящую через эти две точки: $(0; 3)$ и $(-1.5; 0)$. Это и будет график функции $y = 2x + 3$.

Далее, используя построенный график, найдем значения аргумента ($x$) по заданным условиям.

1) равно 5;
Чтобы найти, при каком значении $x$ значение функции $y$ равно 5, проведем на графике горизонтальную прямую $y = 5$. Найдем точку ее пересечения с графиком функции $y = 2x + 3$. Из этой точки опустим перпендикуляр на ось X. Абсцисса этой точки и будет искомым значением аргумента. По графику видно, что при $y=5$ значение $x=1$.
Проверка: $2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$.
Ответ: $x = 1$.

2) больше 5;
Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y$ больше 5, посмотрим на ту часть графика, которая расположена выше горизонтальной линии $y = 5$. Мы уже знаем, что $y=5$ при $x=1$. Так как функция возрастающая (коэффициент при $x$ положителен), значения $y$ будут больше 5 для всех значений $x$, которые больше 1.
Ответ: $x > 1$.

3) меньше 5;
Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y$ меньше 5, посмотрим на ту часть графика, которая расположена ниже горизонтальной линии $y = 5$. Это соответствует значениям $x$, которые меньше 1.
Ответ: $x < 1$.

4) больше -3, но меньше 7.
Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $-3 < y < 7$. Нам нужно найти значения $x$, для которых график функции находится между горизонтальными линиями $y = -3$ и $y = 7$.
Сначала найдем значение $x$, при котором $y = -3$. На графике находим точку пересечения с прямой $y = -3$. Это точка с абсциссой $x = -3$.
Проверка: $2 \cdot (-3) + 3 = -6 + 3 = -3$.
Затем найдем значение $x$, при котором $y = 7$. На графике находим точку пересечения с прямой $y = 7$. Это точка с абсциссой $x = 2$.
Проверка: $2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$.
Таким образом, значения функции находятся в интервале $(-3; 7)$, когда значения аргумента находятся в интервале $(-3; 2)$.
Ответ: $-3 < x < 2$.

1427.Не выполняя построения графика функции $y = 12x - 6$, найдите координаты:

1) точек пересечения графика с осями координат;

2) точки пересечения графика данной функции с графиком функции $y = 6x + 24$.

1) точек пересечения графика с осями координат;

Для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат (осью Oy), необходимо в уравнение функции $y = 12x - 6$ подставить значение $x = 0$.
$y = 12 \cdot 0 - 6 = 0 - 6 = -6$.
Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -6)$.

Для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox), необходимо в уравнение функции $y = 12x - 6$ подставить значение $y = 0$.
$0 = 12x - 6$.
Решим уравнение относительно $x$:
$12x = 6$.
$x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5$.
Следовательно, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(0.5; 0)$.

Ответ: $(0; -6)$ и $(0.5; 0)$.

2) точки пересечения графика данной функции с графиком функции $y = 6x + 24$.

Точка пересечения двух графиков — это точка, которая принадлежит обоим графикам. Следовательно, ее координаты $(x; y)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Чтобы найти эти координаты, нужно приравнять правые части уравнений функций:
$12x - 6 = 6x + 24$.
Решим полученное линейное уравнение. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$12x - 6x = 24 + 6$.
$6x = 30$.
$x = \frac{30}{6} = 5$.
Теперь, зная абсциссу ($x$) точки пересечения, найдем ее ординату ($y$), подставив значение $x = 5$ в уравнение любой из двух функций. Подставим в первую:
$y = 12x - 6 = 12 \cdot 5 - 6 = 60 - 6 = 54$.
Для проверки можно подставить $x=5$ и во вторую функцию:
$y = 6x + 24 = 6 \cdot 5 + 24 = 30 + 24 = 54$.
Результаты совпали. Таким образом, координаты точки пересечения двух графиков: $(5; 54)$.

Ответ: $(5; 54)$.

1428. Постройте график функции:

1) $y = |x| - 3$;

2) $y = |x - 3|$.

1) $y = |x| - 3$

Для построения графика функции $y = |x| - 3$ воспользуемся методом преобразования графиков. В качестве базового графика возьмем график функции $y = |x|$.

1. График функции $y = |x|$ представляет собой объединение двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Это "галочка" с вершиной в начале координат, в точке $(0, 0)$, и ветвями, направленными вверх.

2. Чтобы из графика $y = |x|$ получить график $y = |x| - 3$, необходимо выполнить параллельный перенос исходного графика на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка графика $(x, y)$ сместится в точку $(x, y-3)$.

В результате этого сдвига вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

Найдем ключевые точки для построения:

• Вершина графика: точка $(0, -3)$.
• Точки пересечения с осью Ox (осью абсцисс): для этого решим уравнение $y=0$.
  $|x| - 3 = 0$
  $|x| = 3$
  Это дает два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
  Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy (осью ординат): $x=0$, $y = |0| - 3 = -3$. Это вершина $(0, -3)$.

Соединив вершину $(0, -3)$ с точками $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ и продолжив лучи вверх, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = |x| - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которой направлены вверх и проходят через точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

2) $y = |x - 3|$

Для построения графика функции $y = |x - 3|$ также воспользуемся методом преобразования графика $y = |x|$.

1. Как и в предыдущем случае, начинаем с графика $y = |x|$.

2. Чтобы из графика $y = |x|$ получить график $y = |x - 3|$, необходимо выполнить параллельный перенос исходного графика на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка графика $(x, y)$ сместится в точку $(x+3, y)$.

В результате этого сдвига вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 0)$.

Альтернативно, можно раскрыть модуль по определению:
$y = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x - 3 \ge 0 \text{, то есть } x \ge 3 \\ -(x - 3) = -x + 3, & \text{если } x - 3 < 0 \text{, то есть } x < 3 \end{cases}$
Это означает, что при $x \ge 3$ мы строим луч прямой $y = x - 3$, а при $x < 3$ — луч прямой $y = -x + 3$. Оба луча исходят из общей точки $(3, 0)$.

Найдем ключевые точки для построения:

• Вершина графика: точка, в которой подмодульное выражение равно нулю. $x - 3 = 0 \implies x = 3$. При $x = 3$, $y = |3-3| = 0$. Вершина в точке $(3, 0)$.
• Точка пересечения с осью Ox: это и есть вершина $(3, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0$, $y = |0 - 3| = |-3| = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Возьмем еще одну симметричную точку относительно оси симметрии $x=3$. Например, при $x=6$, $y=|6-3|=3$. Точка $(6,3)$.

Соединив вершину $(3, 0)$ с точками $(0, 3)$ и $(6, 3)$ и продолжив лучи вверх, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = |x - 3|$ получается путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(3, 0)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии графика — прямая $x=3$.

1429. При каком значении $a$ пара чисел $(a; -a)$ является решением уравнения:

1) $6x + 5y = 7;$

2) $8x - 2y = 4;$

3) $x^2 - 3y = 0;$

4) $x + |y| = -2?$

Чтобы найти значение а, при котором пара чисел $(a; -a)$ является решением уравнения, необходимо подставить в каждое уравнение $x = a$ и $y = -a$ и решить полученное уравнение относительно а.

1) $6x + 5y = 7$

Подставляем $x = a$ и $y = -a$ в уравнение:

$6(a) + 5(-a) = 7$

Упрощаем левую часть:

$6a - 5a = 7$

$a = 7$

Ответ: $a = 7$.

2) $8x - 2y = 4$

Подставляем $x = a$ и $y = -a$ в уравнение:

$8(a) - 2(-a) = 4$

Упрощаем левую часть:

$8a + 2a = 4$

$10a = 4$

Находим $a$:

$a = \frac{4}{10} = 0.4$

Ответ: $a = 0.4$.

3) $x^2 - 3y = 0$

Подставляем $x = a$ и $y = -a$ в уравнение:

$(a)^2 - 3(-a) = 0$

Упрощаем:

$a^2 + 3a = 0$

Выносим общий множитель $a$ за скобки:

$a(a + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $a$:

$a = 0$ или $a + 3 = 0$

$a = 0$ или $a = -3$

Ответ: $a = 0$ или $a = -3$.

4) $x + |y| = -2$

Подставляем $x = a$ и $y = -a$ в уравнение:

$a + |-a| = -2$

Так как $|-a| = |a|$, уравнение принимает вид:

$a + |a| = -2$

Рассмотрим два возможных случая для раскрытия модуля:

Случай 1: $a \geq 0$. Тогда $|a| = a$.

$a + a = -2$

$2a = -2$

$a = -1$

Это решение не удовлетворяет условию $a \geq 0$, поэтому оно не является корнем.

Случай 2: $a < 0$. Тогда $|a| = -a$.

$a + (-a) = -2$

$0 = -2$

Это равенство ложно, следовательно, в этом случае решений нет.

Поскольку ни в одном из случаев мы не нашли подходящих значений $a$, то таких значений не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

1430. Постройте график уравнения $y + 1,5x = c$, если он проходит через точку $A (-2; 1)$.

Данное уравнение $y + 1,5x = c$ является линейным, его график — это прямая линия. Чтобы построить график, нам нужно сначала найти значение константы $c$, а затем определить координаты двух точек, через которые проходит эта прямая.

1. Нахождение значения c
По условию, график проходит через точку $A(-2; 1)$. Это означает, что при подстановке координат этой точки в уравнение, мы получим верное равенство. Подставим $x = -2$ и $y = 1$ в исходное уравнение:
$1 + 1,5 \cdot (-2) = c$
$1 - 3 = c$
$c = -2$
Таким образом, искомое уравнение имеет вид: $y + 1,5x = -2$.

2. Построение графика
Для построения прямой линии достаточно знать координаты двух любых ее точек. Одну точку мы уже знаем — это $A(-2; 1)$.
Найдем вторую точку. Для этого выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в стандартном виде $y = kx + b$:
$y = -1,5x - 2$
Теперь выберем удобное значение для $x$, например, $x = 0$. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = -1,5 \cdot 0 - 2 = -2$
Мы получили вторую точку, $B(0; -2)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью $OY$.

Теперь, имея две точки, $A(-2; 1)$ и $B(0; -2)$, мы можем построить график. Для этого нужно отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Ответ: Уравнение графика имеет вид $y = -1,5x - 2$. Графиком является прямая линия, проходящая через точки $A(-2; 1)$ и $B(0; -2)$. График представлен на рисунке выше.

1431. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 3x + 7y = 1, \\ 6y - 5x = 16; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x - 5y = 19, \\ 2x + 3y = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 3(2a - 1) + 6(7 - b) = 51, \\ 2(a + 6) - 7(1 + 6b) = 49; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{3x - 2y}{4} - \frac{4x + 5}{3} = -5, \\ \frac{6x - 5y}{2} + \frac{2x + y}{5} = 9. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x + 7y = 1 \\ 6y - 5x = 16 \end{cases} $$

Для удобства приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые:

$$ \begin{cases} 3x + 7y = 1 \\ -5x + 6y = 16 \end{cases} $$

Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на $5$, а второе на $3$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами:

$$ \begin{cases} 5(3x + 7y) = 5 \cdot 1 \\ 3(-5x + 6y) = 3 \cdot 16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 15x + 35y = 5 \\ -15x + 18y = 48 \end{cases} $$

Сложим почленно два полученных уравнения:

$(15x + 35y) + (-15x + 18y) = 5 + 48$

$53y = 53$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение:

$3x + 7(1) = 1$

$3x + 7 = 1$

$3x = 1 - 7$

$3x = -6$

$x = -2$

Проверка: подставим $x = -2$ и $y = 1$ во второе уравнение: $6(1) - 5(-2) = 6 + 10 = 16$. Верно.

Ответ: $(-2; 1)$

2) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - 5y = 19 \\ 2x + 3y = 0 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$2x = -3y$

$x = -\frac{3}{2}y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$3(-\frac{3}{2}y) - 5y = 19$

$-\frac{9}{2}y - 5y = 19$

Умножим обе части уравнения на $2$, чтобы избавиться от дроби:

$-9y - 10y = 38$

$-19y = 38$

$y = -2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = -\frac{3}{2}(-2)$

$x = 3$

Проверка: подставим $x = 3$ и $y = -2$ в первое уравнение: $3(3) - 5(-2) = 9 + 10 = 19$. Верно.

Ответ: $(3; -2)$

3) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3(2a - 1) + 6(7 - b) = 51 \\ 2(a + 6) - 7(1 + 6b) = 49 \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение:

$6a - 3 + 42 - 6b = 51$

$6a - 6b + 39 = 51$

$6a - 6b = 51 - 39$

$6a - 6b = 12$

Разделим обе части на $6$:

$a - b = 2$

Второе уравнение:

$2a + 12 - 7 - 42b = 49$

$2a - 42b + 5 = 49$

$2a - 42b = 49 - 5$

$2a - 42b = 44$

Разделим обе части на $2$:

$a - 21b = 22$

Получили упрощенную систему:

$$ \begin{cases} a - b = 2 \\ a - 21b = 22 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = b + 2$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(b + 2) - 21b = 22$

$-20b = 22 - 2$

$-20b = 20$

$b = -1$

Найдем $a$, подставив значение $b$:

$a = -1 + 2 = 1$

Проверка: подставим $a=1, b=-1$ в исходное первое уравнение: $3(2(1) - 1) + 6(7 - (-1)) = 3(1) + 6(8) = 3 + 48 = 51$. Верно.

Ответ: $(1; -1)$

4) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3x - 2y}{4} - \frac{4x + 5}{3} = -5 \\ \frac{6x - 5y}{2} + \frac{2x + y}{5} = 9 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей.

Первое уравнение. Общий знаменатель $12$. Умножим обе части на $12$:

$12 \cdot \frac{3x - 2y}{4} - 12 \cdot \frac{4x + 5}{3} = 12 \cdot (-5)$

$3(3x - 2y) - 4(4x + 5) = -60$

$9x - 6y - 16x - 20 = -60$

$-7x - 6y = -40$

Умножим на $-1$:

$7x + 6y = 40$

Второе уравнение. Общий знаменатель $10$. Умножим обе части на $10$:

$10 \cdot \frac{6x - 5y}{2} + 10 \cdot \frac{2x + y}{5} = 10 \cdot 9$

$5(6x - 5y) + 2(2x + y) = 90$

$30x - 25y + 4x + 2y = 90$

$34x - 23y = 90$

Получили упрощенную систему:

$$ \begin{cases} 7x + 6y = 40 \\ 34x - 23y = 90 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на $23$, а второе на $6$, чтобы избавиться от $y$:

$$ \begin{cases} 23(7x + 6y) = 23 \cdot 40 \\ 6(34x - 23y) = 6 \cdot 90 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 161x + 138y = 920 \\ 204x - 138y = 540 \end{cases} $$

Сложим два полученных уравнения:

$(161x + 138y) + (204x - 138y) = 920 + 540$

$365x = 1460$

$x = \frac{1460}{365} = 4$

Подставим $x = 4$ в упрощенное первое уравнение $7x + 6y = 40$:

$7(4) + 6y = 40$

$28 + 6y = 40$

$6y = 12$

$y = 2$

Проверка: подставим $x=4, y=2$ в упрощенное второе уравнение: $34(4) - 23(2) = 136 - 46 = 90$. Верно.

Ответ: $(4; 2)$