Страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1360. Упростите выражение:

1) $4a^3ab - 6a^2b^3b^3 - 5ab \cdot 3a + 7a^3b \cdot 0,2b^4;$

2) $11m^2 \cdot 2mn - 9mn \cdot 6mn^3 + 10mnm;$

3) $8xx^4x \cdot \left(-\frac{1}{4}xy\right) + 18xy \cdot \frac{7}{9}yx^5;$

4) $9x^3xy^2 - 8xy^2y^8 + 12x^2y \cdot 4y - 0,4xy^3 \cdot 6x^3y^2.$

1) $4a^3ab - 6a^2b^3b^3 - 5ab \cdot 3a + 7a^3b \cdot 0,2b^4$

Для упрощения данного выражения мы приведем каждый его член (одночлен) к стандартному виду. Это включает в себя перемножение числовых коэффициентов и сложение показателей степеней для одинаковых переменных.

Шаг 1: Упрощаем каждый член по отдельности.

Первый член: $4a^3ab = 4 \cdot (a^3 \cdot a) \cdot b = 4a^{3+1}b = 4a^4b$.

Второй член: $-6a^2b^3b^3 = -6 \cdot a^2 \cdot (b^3 \cdot b^3) = -6a^2b^{3+3} = -6a^2b^6$.

Третий член: $-5ab \cdot 3a = (-5 \cdot 3) \cdot (a \cdot a) \cdot b = -15a^{1+1}b = -15a^2b$.

Четвертый член: $7a^3b \cdot 0,2b^4 = (7 \cdot 0,2) \cdot a^3 \cdot (b \cdot b^4) = 1,4a^3b^{1+4} = 1,4a^3b^5$.

Шаг 2: Записываем выражение с упрощенными членами.

$4a^4b - 6a^2b^6 - 15a^2b + 1,4a^3b^5$

Шаг 3: Проверяем наличие подобных слагаемых. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть (одинаковые переменные с одинаковыми степенями). В данном выражении буквенные части всех членов ($a^4b, a^2b^6, a^2b, a^3b^5$) различны. Следовательно, дальнейшее упрощение путем сложения или вычитания невозможно. Для стандартного вида многочлена расположим его члены в порядке убывания степеней переменной $a$.

Ответ: $4a^4b + 1,4a^3b^5 - 6a^2b^6 - 15a^2b$

2) $11m^2 \cdot 2mn - 9mn \cdot 6mn^3 + 10mnm$

Упростим выражение, приведя каждый одночлен к стандартному виду.

Шаг 1: Упрощаем каждый член.

Первый член: $11m^2 \cdot 2mn = (11 \cdot 2) \cdot (m^2 \cdot m) \cdot n = 22m^{2+1}n = 22m^3n$.

Второй член: $-9mn \cdot 6mn^3 = (-9 \cdot 6) \cdot (m \cdot m) \cdot (n \cdot n^3) = -54m^{1+1}n^{1+3} = -54m^2n^4$.

Третий член: $10mnm = 10 \cdot (m \cdot m) \cdot n = 10m^{1+1}n = 10m^2n$.

Шаг 2: Записываем полученный многочлен.

$22m^3n - 54m^2n^4 + 10m^2n$

Шаг 3: Проверяем наличие подобных слагаемых. Буквенные части членов ($m^3n, m^2n^4, m^2n$) различны, поэтому подобных слагаемых нет. Расположим члены в порядке убывания степени переменной $m$.

Ответ: $22m^3n - 54m^2n^4 + 10m^2n$

3) $8xx^4x \cdot (-\frac{1}{4}xy) + 18xy \cdot \frac{7}{9}yx^5$

Упростим каждый из двух членов выражения.

Шаг 1: Упрощаем первый член.

Сначала преобразуем $8xx^4x = 8x^{1+4+1} = 8x^6$.

Теперь умножаем: $8x^6 \cdot (-\frac{1}{4}xy) = (8 \cdot (-\frac{1}{4})) \cdot (x^6 \cdot x) \cdot y = -2x^{6+1}y = -2x^7y$.

Шаг 2: Упрощаем второй член.

$18xy \cdot \frac{7}{9}yx^5 = (18 \cdot \frac{7}{9}) \cdot (x \cdot x^5) \cdot (y \cdot y) = (\frac{18}{9} \cdot 7) \cdot x^{1+5} \cdot y^{1+1} = (2 \cdot 7)x^6y^2 = 14x^6y^2$.

Шаг 3: Складываем полученные члены.

$-2x^7y + 14x^6y^2$

Подобных слагаемых нет, так как буквенные части $x^7y$ и $x^6y^2$ различны. Выражение уже представлено в стандартном виде.

Ответ: $-2x^7y + 14x^6y^2$

4) $9x^3xy^2 - 8xy^2y^8 + 12x^2y \cdot 4y - 0,4xy^3 \cdot 6x^3y^2$

Приведем каждый член многочлена к стандартному виду.

Шаг 1: Упрощаем каждый член.

Первый член: $9x^3xy^2 = 9 \cdot (x^3 \cdot x) \cdot y^2 = 9x^{3+1}y^2 = 9x^4y^2$.

Второй член: $-8xy^2y^8 = -8 \cdot x \cdot (y^2 \cdot y^8) = -8xy^{2+8} = -8xy^{10}$.

Третий член: $12x^2y \cdot 4y = (12 \cdot 4) \cdot x^2 \cdot (y \cdot y) = 48x^2y^{1+1} = 48x^2y^2$.

Четвертый член: $-0,4xy^3 \cdot 6x^3y^2 = (-0,4 \cdot 6) \cdot (x \cdot x^3) \cdot (y^3 \cdot y^2) = -2,4x^{1+3}y^{3+2} = -2,4x^4y^5$.

Шаг 2: Собираем все члены вместе.

$9x^4y^2 - 8xy^{10} + 48x^2y^2 - 2,4x^4y^5$

Шаг 3: Проверяем наличие подобных слагаемых. Буквенные части ($x^4y^2, xy^{10}, x^2y^2, x^4y^5$) различны. Подобных слагаемых нет. Для приведения к стандартному виду упорядочим члены по убыванию степеней переменной $x$, а при равных степенях $x$ — по убыванию степеней $y$.

Ответ: $-2,4x^4y^5 + 9x^4y^2 + 48x^2y^2 - 8xy^{10}$

1361. Найдите сумму и разность многочленов:

1) $2,8b - 0,75b^2$ и $\frac{1}{4}b^2 - 1\frac{4}{5}b;$

2) $1\frac{2}{7}x^2 + 2\frac{4}{9}y$ и $2\frac{3}{14}x^2 - 1\frac{1}{6}y.$

1) Даны многочлены $2,8b - 0,75b^2$ и $\frac{1}{4}b^2 - 1\frac{4}{5}b$.
Для удобства вычислений преобразуем все коэффициенты в десятичные дроби. Это возможно, так как знаменатели дробей (4 и 5) являются делителями степеней числа 10.
$\frac{1}{4} = 0,25$
$1\frac{4}{5} = 1 + \frac{4}{5} = 1 + 0,8 = 1,8$
Таким образом, мы будем работать с многочленами $2,8b - 0,75b^2$ и $0,25b^2 - 1,8b$.

Найдем сумму многочленов:
Для этого сложим многочлены и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью).
$(2,8b - 0,75b^2) + (0,25b^2 - 1,8b) = 2,8b - 0,75b^2 + 0,25b^2 - 1,8b$
Сгруппируем подобные члены:
$(2,8b - 1,8b) + (-0,75b^2 + 0,25b^2) = 1b - 0,5b^2 = b - 0,5b^2$.

Найдем разность многочленов:
Для этого из первого многочлена вычтем второй. При раскрытии скобок знаки слагаемых во втором многочлене изменятся на противоположные.
$(2,8b - 0,75b^2) - (0,25b^2 - 1,8b) = 2,8b - 0,75b^2 - 0,25b^2 + 1,8b$
Сгруппируем подобные члены:
$(2,8b + 1,8b) + (-0,75b^2 - 0,25b^2) = 4,6b - 1b^2 = 4,6b - b^2$.

Ответ: сумма многочленов равна $b - 0,5b^2$; разность многочленов равна $4,6b - b^2$.

2) Даны многочлены $1\frac{2}{7}x^2 + 2\frac{4}{9}y$ и $2\frac{3}{14}x^2 - 1\frac{1}{6}y$.
В этом случае удобнее проводить все вычисления в обыкновенных дробях. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$
$2\frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{22}{9}$
$2\frac{3}{14} = \frac{2 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{31}{14}$
$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$
Получаем многочлены: $\frac{9}{7}x^2 + \frac{22}{9}y$ и $\frac{31}{14}x^2 - \frac{7}{6}y$.

Найдем сумму многочленов:
$(\frac{9}{7}x^2 + \frac{22}{9}y) + (\frac{31}{14}x^2 - \frac{7}{6}y) = (\frac{9}{7}x^2 + \frac{31}{14}x^2) + (\frac{22}{9}y - \frac{7}{6}y)$.
Вычислим коэффициенты для подобных членов, приведя дроби к общему знаменателю.
Для $x^2$: $\frac{9}{7} + \frac{31}{14} = \frac{9 \cdot 2}{14} + \frac{31}{14} = \frac{18 + 31}{14} = \frac{49}{14} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.
Для $y$: $\frac{22}{9} - \frac{7}{6}$. Общий знаменатель для 9 и 6 это 18. $\frac{22 \cdot 2}{18} - \frac{7 \cdot 3}{18} = \frac{44 - 21}{18} = \frac{23}{18} = 1\frac{5}{18}$.
Сумма равна $3\frac{1}{2}x^2 + 1\frac{5}{18}y$.

Найдем разность многочленов:
$(\frac{9}{7}x^2 + \frac{22}{9}y) - (\frac{31}{14}x^2 - \frac{7}{6}y) = (\frac{9}{7}x^2 - \frac{31}{14}x^2) + (\frac{22}{9}y + \frac{7}{6}y)$.
Вычислим коэффициенты для подобных членов.
Для $x^2$: $\frac{9}{7} - \frac{31}{14} = \frac{18}{14} - \frac{31}{14} = \frac{18 - 31}{14} = -\frac{13}{14}$.
Для $y$: $\frac{22}{9} + \frac{7}{6} = \frac{44}{18} + \frac{21}{18} = \frac{44 + 21}{18} = \frac{65}{18} = 3\frac{11}{18}$.
Разность равна $-\frac{13}{14}x^2 + 3\frac{11}{18}y$.

Ответ: сумма многочленов равна $3\frac{1}{2}x^2 + 1\frac{5}{18}y$; разность многочленов равна $-\frac{13}{14}x^2 + 3\frac{11}{18}y$.

1362. Докажите, что значение выражения $3x^2 - 9x - (8 - 5x^2 - (9x - 8x^2))$ не зависит от значения переменной.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения переменная $x$ исчезнет, а останется только число, то утверждение будет доказано.

Исходное выражение: $3x^2 - 9x - (8 - 5x^2 - (9x - 8x^2))$

Сначала раскроем самые внутренние скобки. Так как перед ними стоит знак минус, знаки всех членов внутри них меняются на противоположные:

$3x^2 - 9x - (8 - 5x^2 - 9x + 8x^2)$

Теперь приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок. Сгруппируем члены с $x^2$:

$8 + (-5x^2 + 8x^2) - 9x = 8 + 3x^2 - 9x$

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$3x^2 - 9x - (8 + 3x^2 - 9x)$

Раскроем последние скобки, снова меняя знаки всех членов внутри на противоположные, так как перед скобками стоит минус:

$3x^2 - 9x - 8 - 3x^2 + 9x$

На последнем шаге приведем подобные слагаемые во всем выражении. Сгруппируем их для наглядности:

$(3x^2 - 3x^2) + (-9x + 9x) - 8$

Выполним вычисления:

$0 + 0 - 8 = -8$

В результате всех преобразований мы получили число -8. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $x$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной при любых допустимых значениях $x$.

Ответ: Значение выражения равно -8, оно не зависит от переменной $x$.

1363. Какой многочлен надо прибавить к многочлену $a^4 - b^4 + a^3 - b^3 - 3ab$, чтобы их сумма была тождественно равна многочлену $b^4 + 2ab$?

Чтобы найти многочлен, который нужно прибавить к данному, необходимо из конечного многочлена вычесть исходный.

Пусть искомый многочлен — это $X$. Исходный многочлен: $P_1 = a^4 - b^4 + a^3 - b^3 - 3ab$. Конечный многочлен (сумма): $P_2 = b^4 + 2ab$.

Согласно условию, должно выполняться тождество:

$P_1 + X = P_2$

Выразим из этого уравнения искомый многочлен $X$:

$X = P_2 - P_1$

Подставим выражения для $P_1$ и $P_2$:

$X = (b^4 + 2ab) - (a^4 - b^4 + a^3 - b^3 - 3ab)$

Теперь раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки членов многочлена в этих скобках изменятся на противоположные:

$X = b^4 + 2ab - a^4 + b^4 - a^3 + b^3 + 3ab$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$X = (-a^4) + (-a^3) + (b^4 + b^4) + (b^3) + (2ab + 3ab)$

Выполним сложение и вычитание:

$X = -a^4 - a^3 + 2b^4 + b^3 + 5ab$

Для проверки можно сложить исходный многочлен с найденным:

$(a^4 - b^4 + a^3 - b^3 - 3ab) + (-a^4 - a^3 + 2b^4 + b^3 + 5ab) = (a^4 - a^4) + (-b^4 + 2b^4) + (a^3 - a^3) + (-b^3 + b^3) + (-3ab + 5ab) = b^4 + 2ab$.

Результат совпадает с требуемым, значит, многочлен найден верно.

Ответ: $-a^4 - a^3 + 2b^4 + b^3 + 5ab$

1364. Какой многочлен надо вычесть из многочлена $3c^5 - 2c^4 + 14c^3 - 4c^2 + c$, чтобы их разность была тождественно равна многочлену $5c^3 + c^2 - 7c$?

Чтобы найти многочлен, который нужно вычесть, необходимо из исходного многочлена (уменьшаемого) вычесть многочлен, который является результатом (разностью).

Обозначим исходный многочлен как $P_1(c)$, искомый многочлен как $P_x(c)$ и результирующий многочлен как $P_2(c)$.

$P_1(c) = 3c^5 - 2c^4 + 14c^3 - 4c^2 + c$
$P_2(c) = 5c^3 + c^2 - 7c$

По условию задачи имеем уравнение:
$P_1(c) - P_x(c) = P_2(c)$

Выразим из этого уравнения искомый многочлен $P_x(c)$:
$P_x(c) = P_1(c) - P_2(c)$

Подставим выражения для многочленов и выполним вычитание:
$P_x(c) = (3c^5 - 2c^4 + 14c^3 - 4c^2 + c) - (5c^3 + c^2 - 7c)$

Раскроем скобки, изменив знаки членов второго многочлена на противоположные:
$P_x(c) = 3c^5 - 2c^4 + 14c^3 - 4c^2 + c - 5c^3 - c^2 + 7c$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$P_x(c) = 3c^5 - 2c^4 + (14c^3 - 5c^3) + (-4c^2 - c^2) + (c + 7c)$
$P_x(c) = 3c^5 - 2c^4 + 9c^3 - 5c^2 + 8c$

Ответ: $3c^5 - 2c^4 + 9c^3 - 5c^2 + 8c$

1365. Какой многочлен надо прибавить к многочлену $m^3 - m^2n + mn^2 - n^4$, чтобы их сумма была тождественно равна 5?

Пусть искомый многочлен будет $P$. Согласно условию задачи, сумма данного многочлена и многочлена $P$ должна быть тождественно равна 5. Это можно записать в виде уравнения:

$(m^3 - m^2n + mn^2 - n^4) + P = 5$

Чтобы найти многочлен $P$, мы должны вычесть известный многочлен из суммы, то есть из 5:

$P = 5 - (m^3 - m^2n + mn^2 - n^4)$

Теперь раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, мы должны изменить знак каждого члена внутри скобок на противоположный:

$P = 5 - m^3 + m^2n - mn^2 + n^4$

Для стандартной записи расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменных:

$P = -m^3 + m^2n - mn^2 + n^4 + 5$

Проверка:

$(m^3 - m^2n + mn^2 - n^4) + (-m^3 + m^2n - mn^2 + n^4 + 5) = (m^3 - m^3) + (-m^2n + m^2n) + (mn^2 - mn^2) + (-n^4 + n^4) + 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 5 = 5$.

Сумма действительно равна 5, значит, многочлен найден правильно.

Ответ: $-m^3 + m^2n - mn^2 + n^4 + 5$

1366. Существуют ли такие значения $x$ и $y$, при которых многочлены $-4x^2 - 12xy + 7y^2$ и $6x^2 + 12xy - 5y^2$ одновременно принимают отрицательные значения?

Чтобы определить, существуют ли такие значения $x$ и $y$, при которых оба многочлена принимают отрицательные значения, рассмотрим эти многочлены. Обозначим их как $P_1$ и $P_2$:

$P_1 = -4x^2 - 12xy + 7y^2$

$P_2 = 6x^2 + 12xy - 5y^2$

Мы ищем такие $x$ и $y$, для которых одновременно выполняются два неравенства: $P_1 < 0$ и $P_2 < 0$.

Давайте воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что такие значения $x$ и $y$ существуют. Если оба многочлена $P_1$ и $P_2$ принимают отрицательные значения, то их сумма также должна быть отрицательной: $P_1 + P_2 < 0$.

Теперь найдем сумму этих многочленов:

$P_1 + P_2 = (-4x^2 - 12xy + 7y^2) + (6x^2 + 12xy - 5y^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$P_1 + P_2 = (-4x^2 + 6x^2) + (-12xy + 12xy) + (7y^2 - 5y^2)$

$P_1 + P_2 = 2x^2 + 0 \cdot xy + 2y^2$

$P_1 + P_2 = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2)$

Рассмотрим полученное выражение $2(x^2 + y^2)$. Поскольку квадраты любых действительных чисел $x$ и $y$ являются неотрицательными ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$), их сумма $x^2 + y^2$ также всегда неотрицательна. Сумма $x^2 + y^2$ равна нулю только в одном случае: когда $x = 0$ и $y = 0$ одновременно. Во всех остальных случаях $x^2 + y^2 > 0$.

Следовательно, выражение $2(x^2 + y^2)$ всегда больше или равно нулю: $2(x^2 + y^2) \ge 0$.

Мы пришли к противоречию. С одной стороны, из нашего предположения следует, что сумма многочленов должна быть отрицательной ($P_1 + P_2 < 0$). С другой стороны, мы получили, что их сумма всегда неотрицательна ($P_1 + P_2 \ge 0$).

Единственный случай, когда сумма не является строго положительной, это $x=0$ и $y=0$. Проверим его. При $x=0, y=0$:

$P_1 = -4(0)^2 - 12(0)(0) + 7(0)^2 = 0$

$P_2 = 6(0)^2 + 12(0)(0) - 5(0)^2 = 0$

В этом случае оба многочлена равны нулю, а не отрицательны. Таким образом, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Таких значений $x$ и $y$, при которых оба многочлена одновременно принимают отрицательные значения, не существует.

1367.Найдите значение выражения:

1) $2a(3a - 5) - 4a(4a - 5)$, если $a = -0,2$;

2) $7ab(2a - 3b) + 2a(3ab + 10b^2)$, если $a = -3, b = 5$;

3) $2a^4(3a^2 + a - 8) - 6a^6$, если $a = -1$.

1) Сначала упростим выражение $2a(3a - 5) - 4a(4a - 5)$. Для этого раскроем скобки, умножив одночлены на многочлены:

$2a(3a - 5) - 4a(4a - 5) = (2a \cdot 3a - 2a \cdot 5) - (4a \cdot 4a - 4a \cdot 5) = 6a^2 - 10a - (16a^2 - 20a)$.

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$6a^2 - 10a - 16a^2 + 20a$.

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(6a^2 - 16a^2) + (-10a + 20a) = -10a^2 + 10a$.

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $a = -0,2$:

$-10a^2 + 10a = -10 \cdot (-0,2)^2 + 10 \cdot (-0,2) = -10 \cdot 0,04 - 2 = -0,4 - 2 = -2,4$.

Ответ: $-2,4$.

2) Упростим выражение $7ab(2a - 3b) + 2a(3ab + 10b^2)$. Для этого раскроем скобки:

$7ab(2a - 3b) + 2a(3ab + 10b^2) = (7ab \cdot 2a - 7ab \cdot 3b) + (2a \cdot 3ab + 2a \cdot 10b^2) = 14a^2b - 21ab^2 + 6a^2b + 20ab^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(14a^2b + 6a^2b) + (-21ab^2 + 20ab^2) = 20a^2b - ab^2$.

Теперь подставим значения $a = -3$ и $b = 5$ в упрощенное выражение:

$20a^2b - ab^2 = 20 \cdot (-3)^2 \cdot 5 - (-3) \cdot 5^2 = 20 \cdot 9 \cdot 5 - (-3) \cdot 25 = 20 \cdot 45 + 75 = 900 + 75 = 975$.

Ответ: $975$.

3) Упростим выражение $2a^4(3a^2 + a - 8) - 6a^6$. Раскроем скобки:

$2a^4(3a^2 + a - 8) - 6a^6 = 2a^4 \cdot 3a^2 + 2a^4 \cdot a - 2a^4 \cdot 8 - 6a^6 = 6a^{4+2} + 2a^{4+1} - 16a^4 - 6a^6 = 6a^6 + 2a^5 - 16a^4 - 6a^6$.

Приведем подобные слагаемые:

$(6a^6 - 6a^6) + 2a^5 - 16a^4 = 0 + 2a^5 - 16a^4 = 2a^5 - 16a^4$.

Подставим значение $a = -1$ в упрощенное выражение:

$2a^5 - 16a^4 = 2 \cdot (-1)^5 - 16 \cdot (-1)^4$.

Поскольку $(-1)$ в нечетной степени равно $-1$, а в четной степени равно $1$, получаем:

$2 \cdot (-1) - 16 \cdot 1 = -2 - 16 = -18$.

Ответ: $-18$.

1368.Решите уравнение:

1) $ \frac{3x - 1}{6} - \frac{x}{3} = \frac{5 - 2x}{9} $;

2) $ \frac{3x + 1}{2} - \frac{5x}{4} = \frac{3 - 2x}{3} $;

3) $ \frac{x + 5}{8} - \frac{1 + x}{2} = \frac{2x + 1}{3} $;

4) $ \frac{2x}{3} - \frac{2x + 1}{6} = \frac{3x - 9}{4} $;

5) $ \frac{9x - 7}{4} - \frac{9x + 13}{8} = \frac{3 - x}{2} $;

6) $ \frac{6x + 7}{6} + \frac{5x - 8}{9} = 3. $

1) $\frac{3x - 1}{6} - \frac{x}{3} = \frac{5 - 2x}{9}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (6, 3, 9). НОК(6, 3, 9) = 18.

$18 \cdot (\frac{3x - 1}{6} - \frac{x}{3}) = 18 \cdot \frac{5 - 2x}{9}$

$18 \cdot \frac{3x - 1}{6} - 18 \cdot \frac{x}{3} = 18 \cdot \frac{5 - 2x}{9}$

$3(3x - 1) - 6(x) = 2(5 - 2x)$

Раскроем скобки:

$9x - 3 - 6x = 10 - 4x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x - 3 = 10 - 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$3x + 4x = 10 + 3$

$7x = 13$

$x = \frac{13}{7} = 1 \frac{6}{7}$

Ответ: $x = 1 \frac{6}{7}$.

2) $\frac{3x + 1}{2} - \frac{5x}{4} = \frac{3 - 2x}{3}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (2, 4, 3). НОК(2, 4, 3) = 12. Умножим обе части уравнения на 12.

$12 \cdot (\frac{3x + 1}{2} - \frac{5x}{4}) = 12 \cdot \frac{3 - 2x}{3}$

$6(3x + 1) - 3(5x) = 4(3 - 2x)$

Раскроем скобки:

$18x + 6 - 15x = 12 - 8x$

Приведем подобные слагаемые:

$3x + 6 = 12 - 8x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$3x + 8x = 12 - 6$

$11x = 6$

$x = \frac{6}{11}$

Ответ: $x = \frac{6}{11}$.

3) $\frac{x + 5}{8} - \frac{1 + x}{2} = \frac{2x + 1}{3}$

Наименьшее общее кратное знаменателей (8, 2, 3) равно 24. Умножим обе части уравнения на 24.

$24 \cdot (\frac{x + 5}{8} - \frac{1 + x}{2}) = 24 \cdot \frac{2x + 1}{3}$

$3(x + 5) - 12(1 + x) = 8(2x + 1)$

Раскроем скобки:

$3x + 15 - 12 - 12x = 16x + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$-9x + 3 = 16x + 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$3 - 8 = 16x + 9x$

$-5 = 25x$

$x = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $x = -\frac{1}{5}$.

4) $\frac{2x}{3} - \frac{2x + 1}{6} = \frac{3x - 9}{4}$

Наименьшее общее кратное знаменателей (3, 6, 4) равно 12. Умножим обе части уравнения на 12.

$12 \cdot (\frac{2x}{3} - \frac{2x + 1}{6}) = 12 \cdot \frac{3x - 9}{4}$

$4(2x) - 2(2x + 1) = 3(3x - 9)$

Раскроем скобки:

$8x - 4x - 2 = 9x - 27$

Приведем подобные слагаемые:

$4x - 2 = 9x - 27$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$27 - 2 = 9x - 4x$

$25 = 5x$

$x = \frac{25}{5} = 5$

Ответ: $x = 5$.

5) $\frac{9x - 7}{4} - \frac{9x + 13}{8} = \frac{3 - x}{2}$

Наименьшее общее кратное знаменателей (4, 8, 2) равно 8. Умножим обе части уравнения на 8.

$8 \cdot (\frac{9x - 7}{4} - \frac{9x + 13}{8}) = 8 \cdot \frac{3 - x}{2}$

$2(9x - 7) - (9x + 13) = 4(3 - x)$

Раскроем скобки:

$18x - 14 - 9x - 13 = 12 - 4x$

Приведем подобные слагаемые:

$9x - 27 = 12 - 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$9x + 4x = 12 + 27$

$13x = 39$

$x = \frac{39}{13} = 3$

Ответ: $x = 3$.

6) $\frac{6x + 7}{6} + \frac{5x - 8}{9} = 3$

Наименьшее общее кратное знаменателей (6, 9) равно 18. Умножим обе части уравнения на 18.

$18 \cdot (\frac{6x + 7}{6} + \frac{5x - 8}{9}) = 18 \cdot 3$

$3(6x + 7) + 2(5x - 8) = 54$

Раскроем скобки:

$18x + 21 + 10x - 16 = 54$

Приведем подобные слагаемые:

$28x + 5 = 54$

Перенесем число 5 в правую часть:

$28x = 54 - 5$

$28x = 49$

$x = \frac{49}{28}$

Сократим дробь на 7:

$x = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$

Ответ: $x = 1 \frac{3}{4}$.

1369. Решите уравнение:

1) $3x(4x - 1) - 6x(1.5 + 2x) = 4.8;$

2) $0.2x(5x - 8) + 3.6 = x(x - 0.7);$

3) $x(9x - 4) - 3x(3x - 1) = 8 - x;$

4) $18x^2 - 6x(3x + 2) = -12x.$

1) $3x(4x - 1) - 6x(1,5 + 2x) = 4,8$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, применяя распределительный закон умножения:

$(3x \cdot 4x - 3x \cdot 1) - (6x \cdot 1,5 + 6x \cdot 2x) = 4,8$

$12x^2 - 3x - (9x + 12x^2) = 4,8$

Теперь раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:

$12x^2 - 3x - 9x - 12x^2 = 4,8$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожаются:

$(12x^2 - 12x^2) + (-3x - 9x) = 4,8$

$-12x = 4,8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-12$:

$x = \frac{4,8}{-12}$

$x = -0,4$

Ответ: $x = -0,4$.

2) $0,2x(5x - 8) + 3,6 = x(x - 0,7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$(0,2x \cdot 5x - 0,2x \cdot 8) + 3,6 = x \cdot x - x \cdot 0,7$

$x^2 - 1,6x + 3,6 = x^2 - 0,7x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$x^2 - 1,6x - x^2 + 0,7x = -3,6$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожаются:

$(x^2 - x^2) + (-1,6x + 0,7x) = -3,6$

$-0,9x = -3,6$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-0,9$:

$x = \frac{-3,6}{-0,9}$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

3) $x(9x - 4) - 3x(3x - 1) = 8 - x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(x \cdot 9x - x \cdot 4) - (3x \cdot 3x - 3x \cdot 1) = 8 - x$

$9x^2 - 4x - (9x^2 - 3x) = 8 - x$

Раскрываем вторые скобки:

$9x^2 - 4x - 9x^2 + 3x = 8 - x$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожаются:

$(9x^2 - 9x^2) + (-4x + 3x) = 8 - x$

$-x = 8 - x$

Перенесем слагаемое $-x$ из правой части в левую:

$-x + x = 8$

$0 = 8$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: корней нет.

4) $18x^2 - 6x(3x + 2) = -12x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$18x^2 - (6x \cdot 3x + 6x \cdot 2) = -12x$

$18x^2 - (18x^2 + 12x) = -12x$

Раскрываем скобки, меняя знаки:

$18x^2 - 18x^2 - 12x = -12x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-12x = -12x$

Мы получили тождество, то есть верное равенство, которое выполняется для любого значения переменной $x$. Следовательно, решением уравнения является любое число.

Ответ: $x$ - любое число.