Номер 1363, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1363, страница 260.

Условие.

1363. Какой многочлен надо прибавить к многочлену $a^4 - b^4 + a^3 - b^3 - 3ab$, чтобы их сумма была тождественно равна многочлену $b^4 + 2ab$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти многочлен, который нужно прибавить к данному, необходимо из конечного многочлена вычесть исходный.

Пусть искомый многочлен — это $X$. Исходный многочлен: $P_1 = a^4 - b^4 + a^3 - b^3 - 3ab$. Конечный многочлен (сумма): $P_2 = b^4 + 2ab$.

Согласно условию, должно выполняться тождество:

$P_1 + X = P_2$

Выразим из этого уравнения искомый многочлен $X$:

$X = P_2 - P_1$

Подставим выражения для $P_1$ и $P_2$:

$X = (b^4 + 2ab) - (a^4 - b^4 + a^3 - b^3 - 3ab)$

Теперь раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки членов многочлена в этих скобках изменятся на противоположные:

$X = b^4 + 2ab - a^4 + b^4 - a^3 + b^3 + 3ab$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$X = (-a^4) + (-a^3) + (b^4 + b^4) + (b^3) + (2ab + 3ab)$

Выполним сложение и вычитание:

$X = -a^4 - a^3 + 2b^4 + b^3 + 5ab$

Для проверки можно сложить исходный многочлен с найденным:

$(a^4 - b^4 + a^3 - b^3 - 3ab) + (-a^4 - a^3 + 2b^4 + b^3 + 5ab) = (a^4 - a^4) + (-b^4 + 2b^4) + (a^3 - a^3) + (-b^3 + b^3) + (-3ab + 5ab) = b^4 + 2ab$.

Результат совпадает с требуемым, значит, многочлен найден верно.

Ответ: $-a^4 - a^3 + 2b^4 + b^3 + 5ab$