Номер 1359, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1359, страница 259.

Условие.

1359. Представьте данный одночлен A в виде $B^n$, где B – некоторый одночлен, если:

1) $A = a^6b^9$, $n = 3;$

2) $A = 32a^{10}$, $n = 5;$

3) $A = 81a^2b^4c^8$, $n = 2;$

4) $A = -8a^{12}b^{18}$, $n = 3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) A = $a^6b^9$, n = 3

Чтобы представить одночлен $A$ в виде $B^n$, необходимо найти такой одночлен $B$, что $A = B^n$. Это эквивалентно нахождению корня n-ой степени из одночлена $A$: $B = \sqrt[n]{A}$.
Для решения задачи воспользуемся свойством степени $(x^k y^m)^n = x^{kn}y^{mn}$. Следовательно, чтобы найти $B$, нужно извлечь корень n-ой степени из каждого множителя в одночлене $A$.
В данном случае $n=3$, поэтому ищем $B = \sqrt[3]{A} = \sqrt[3]{a^6b^9}$.
Применяя правило извлечения корня из степени ($\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$), получаем:
$B = (a^6)^{1/3} \cdot (b^9)^{1/3} = a^{6/3}b^{9/3} = a^2b^3$.
Проверка: $(a^2b^3)^3 = (a^2)^3(b^3)^3 = a^{2 \cdot 3}b^{3 \cdot 3} = a^6b^9$.
Ответ: $B = a^2b^3$.

2) A = $32a^{10}$, n = 5

Ищем одночлен $B$ такой, что $A = B^5$.
$B = \sqrt[5]{A} = \sqrt[5]{32a^{10}}$.
Извлекаем корень 5-й степени из числового коэффициента и каждой переменной:
$B = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{a^{10}}$.
Поскольку $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
Следовательно, $B = 2 \cdot a^{10/5} = 2a^2$.
Проверка: $(2a^2)^5 = 2^5 \cdot (a^2)^5 = 32 \cdot a^{2 \cdot 5} = 32a^{10}$.
Ответ: $B = 2a^2$.

3) A = $81a^2b^4c^8$, n = 2

Ищем одночлен $B$ такой, что $A = B^2$.
$B = \sqrt{A} = \sqrt{81a^2b^4c^8}$.
Извлекаем квадратный корень (корень 2-й степени) из каждого множителя:
$B = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^4} \cdot \sqrt{c^8}$.
Поскольку $9^2 = 81$, то $\sqrt{81} = 9$.
Следовательно, $B = 9 \cdot a^{2/2} \cdot b^{4/2} \cdot c^{8/2} = 9a^1b^2c^4 = 9ab^2c^4$.
Проверка: $(9ab^2c^4)^2 = 9^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 \cdot (c^4)^2 = 81a^2b^{4}c^{8}$.
Ответ: $B = 9ab^2c^4$.

4) A = $-8a^{12}b^{18}$, n = 3

Ищем одночлен $B$ такой, что $A = B^3$.
$B = \sqrt[3]{A} = \sqrt[3]{-8a^{12}b^{18}}$.
Извлекаем кубический корень (корень 3-й степени) из каждого множителя:
$B = \sqrt[3]{-8} \cdot \sqrt[3]{a^{12}} \cdot \sqrt[3]{b^{18}}$.
Поскольку $(-2)^3 = -8$, то $\sqrt[3]{-8} = -2$.
Следовательно, $B = -2 \cdot a^{12/3} \cdot b^{18/3} = -2a^4b^6$.
Проверка: $(-2a^4b^6)^3 = (-2)^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^6)^3 = -8 \cdot a^{4 \cdot 3} \cdot b^{6 \cdot 3} = -8a^{12}b^{18}$.
Ответ: $B = -2a^4b^6$.