Страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1351. Заполните таблицу.

Таблица:

Значения $a$: -2, -1, -0,5, 0, 0,5, 1, 2

Выражение: $a^3 - a^2$

Выражение: $a^4 + a^2$

Для заполнения таблицы необходимо последовательно подставить каждое значение переменной a в выражения $a^3 - a^2$ и $a^4 + a^2$ и вычислить их значения.

При a = -2

Вычисляем значение выражения $a^3 - a^2$:
$(-2)^3 - (-2)^2 = -8 - 4 = -12$.

Вычисляем значение выражения $a^4 + a^2$:
$(-2)^4 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.

Ответ: -12; 20.

При a = -1

Вычисляем значение выражения $a^3 - a^2$:
$(-1)^3 - (-1)^2 = -1 - 1 = -2$.

Вычисляем значение выражения $a^4 + a^2$:
$(-1)^4 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: -2; 2.

При a = -0,5

Вычисляем значение выражения $a^3 - a^2$:
$(-0,5)^3 - (-0,5)^2 = -0,125 - 0,25 = -0,375$.

Вычисляем значение выражения $a^4 + a^2$:
$(-0,5)^4 + (-0,5)^2 = 0,0625 + 0,25 = 0,3125$.

Ответ: -0,375; 0,3125.

При a = 0

Вычисляем значение выражения $a^3 - a^2$:
$0^3 - 0^2 = 0 - 0 = 0$.

Вычисляем значение выражения $a^4 + a^2$:
$0^4 + 0^2 = 0 + 0 = 0$.

Ответ: 0; 0.

При a = 0,5

Вычисляем значение выражения $a^3 - a^2$:
$(0,5)^3 - (0,5)^2 = 0,125 - 0,25 = -0,125$.

Вычисляем значение выражения $a^4 + a^2$:
$(0,5)^4 + (0,5)^2 = 0,0625 + 0,25 = 0,3125$.

Ответ: -0,125; 0,3125.

При a = 1

Вычисляем значение выражения $a^3 - a^2$:
$1^3 - 1^2 = 1 - 1 = 0$.

Вычисляем значение выражения $a^4 + a^2$:
$1^4 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 0; 2.

При a = 2

Вычисляем значение выражения $a^3 - a^2$:
$2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Вычисляем значение выражения $a^4 + a^2$:
$2^4 + 2^2 = 16 + 4 = 20$.

Ответ: 4; 20.

Итоговая заполненная таблица:

1352.Представьте в виде степени выражение:

1) $(a^8)^4$;

2) $a^8a^4$;

3) $a^5a^5$;

4) $(a^5)^5$;

5) $a^2a^3a^4$;

6) $(a^2)^3a^4$;

7) $a^6a^6a^6$;

8) $(a^6a^6)^6$;

9) $(a^6)^6a^6$;

10) $(a^4)^5 : a^7$;

11) $(a^2)^9 : (a^6)^3$;

12) $(a^8a^7) : a^{14}$.

Для решения данных задач используются следующие свойства степеней:

• При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

1) $(a^8)^4$

Применяем правило возведения степени в степень. Показатели 8 и 4 перемножаются.
$(a^8)^4 = a^{8 \cdot 4} = a^{32}$.
Ответ: $a^{32}$.

2) $a^8 a^4$

Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием. Показатели 8 и 4 складываются.
$a^8 a^4 = a^{8+4} = a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$.

3) $a^5 a^5$

Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием. Показатели 5 и 5 складываются.
$a^5 a^5 = a^{5+5} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

4) $(a^5)^5$

Применяем правило возведения степени в степень. Показатели 5 и 5 перемножаются.
$(a^5)^5 = a^{5 \cdot 5} = a^{25}$.
Ответ: $a^{25}$.

5) $a^2 a^3 a^4$

Применяем правило умножения степеней. Показатели 2, 3 и 4 складываются.
$a^2 a^3 a^4 = a^{2+3+4} = a^9$.
Ответ: $a^9$.

6) $(a^2)^3 a^4$

Сначала возводим степень в степень, а затем выполняем умножение.
$(a^2)^3 a^4 = a^{2 \cdot 3} a^4 = a^6 a^4 = a^{6+4} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

7) $a^6 a^6 a^6$

Применяем правило умножения степеней. Показатели 6, 6 и 6 складываются.
$a^6 a^6 a^6 = a^{6+6+6} = a^{18}$.
Ответ: $a^{18}$.

8) $(a^6 a^6)^6$

Сначала выполняем умножение в скобках, а затем возводим результат в степень.
$(a^6 a^6)^6 = (a^{6+6})^6 = (a^{12})^6 = a^{12 \cdot 6} = a^{72}$.
Ответ: $a^{72}$.

9) $(a^6)^6 a^6$

Сначала возводим степень в степень, а затем выполняем умножение.
$(a^6)^6 a^6 = a^{6 \cdot 6} a^6 = a^{36} a^6 = a^{36+6} = a^{42}$.
Ответ: $a^{42}$.

10) $(a^4)^5 : a^7$

Сначала возводим степень в степень, а затем выполняем деление.
$(a^4)^5 : a^7 = a^{4 \cdot 5} : a^7 = a^{20} : a^7 = a^{20-7} = a^{13}$.
Ответ: $a^{13}$.

11) $(a^2)^9 : (a^6)^3$

Возводим в степень делимое и делитель, а затем выполняем деление.
$(a^2)^9 : (a^6)^3 = a^{2 \cdot 9} : a^{6 \cdot 3} = a^{18} : a^{18} = a^{18-18} = a^0$.
Ответ: $a^0$.

12) $(a^8 a^7) : a^{14}$

Сначала выполняем умножение в скобках, а затем выполняем деление.
$(a^8 a^7) : a^{14} = a^{8+7} : a^{14} = a^{15} : a^{14} = a^{15-14} = a^1$.
Ответ: $a^1$.

1353. При каком значении x верно равенство:

1) $5^x \cdot 5^6 = 5^{24}$,

2) $(3^m)^x = 3^{5m}$,

3) $2^x \cdot 2^m = 2^{6m}$,

4) $(4^x)^{3m} = 4^{6m^2}$,

где $m$ – натуральное число?

1) Для решения уравнения $5^x \cdot 5^6 = 5^{24}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применив это свойство к левой части уравнения, получаем:
$5^{x+6} = 5^{24}$
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны. Приравниваем показатели:
$x + 6 = 24$
Решаем полученное линейное уравнение:
$x = 24 - 6$
$x = 18$
Ответ: $x=18$.

2) В уравнении $(3^m)^x = 3^{5m}$ применяется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Преобразуем левую часть уравнения:
$3^{m \cdot x} = 3^{5m}$
Так как основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели:
$m \cdot x = 5m$
По условию $m$ — натуральное число, следовательно $m \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $m$:
$x = \frac{5m}{m}$
$x = 5$
Ответ: $x=5$.

3) Для решения уравнения $2^x \cdot 2^m = 2^{6m}$ снова воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{x+m} = 2^{6m}$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x + m = 6m$
Чтобы найти $x$, перенесем $m$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 6m - m$
$x = 5m$
Ответ: $x=5m$.

4) В уравнении $(4^x)^{3m} = 4^{6m^2}$ используется свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к левой части:
$4^{x \cdot 3m} = 4^{6m^2}$
Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$3mx = 6m^2$
Так как $m$ — натуральное число, $m \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $3m$:
$x = \frac{6m^2}{3m}$
Сокращаем дробь:
$x = 2m$
Ответ: $x=2m$.

1354.Являются ли тождественно равными выражения:

1) $-a^2$ и $(-a)^2$;

2) $-a^3$ и $(-a)^3$;

3) $(a^3)^2$ и $a^5$;

4) $9a \cdot a^2$ и $(3a)^2 \cdot a$;

5) $(a^4)^3$ и $(a^2)^6$;

6) $(2a)^3 \cdot (0.5a)^2$ и $2a^4a$?

1)

Чтобы определить, являются ли выражения $-a^2$ и $(-a)^2$ тождественно равными, упростим каждое из них.

Первое выражение: $-a^2$. Порядок действий предписывает сначала возвести $a$ в квадрат, а затем применить унарный минус. То есть, $-a^2 = -(a \cdot a)$.

Второе выражение: $(-a)^2$. Здесь сначала число $a$ берется с противоположным знаком, а затем результат возводится в квадрат. Используя свойство степени, $(-a)^2 = (-a) \cdot (-a) = a^2$.

Сравним полученные выражения: $-a^2$ и $a^2$. Эти выражения равны только при $a=0$. Для всех остальных значений $a$ они не равны (например, при $a=1$ получаем $-1$ и $1$). Следовательно, выражения не являются тождественно равными.

Ответ: не являются.

2)

Рассмотрим выражения $-a^3$ и $(-a)^3$.

Первое выражение: $-a^3$. Это означает $-(a \cdot a \cdot a)$.

Второе выражение: $(-a)^3$. Возведение в нечетную степень отрицательного числа дает отрицательный результат. $(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) = (a^2) \cdot (-a) = -a^3$.

Сравнивая упрощенные выражения $-a^3$ и $-a^3$, мы видим, что они одинаковы для любого значения $a$.

Ответ: являются.

3)

Сравним выражения $(a^3)^2$ и $a^5$.

Упростим первое выражение, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.

Теперь сравним результат $a^6$ со вторым выражением $a^5$. Эти выражения не равны для любого $a$, кроме $a=0$ и $a=1$. Следовательно, они не являются тождественно равными.

Ответ: не являются.

4)

Рассмотрим выражения $9a \cdot a^2$ и $(3a)^2 \cdot a$.

Упростим первое выражение, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $9a \cdot a^2 = 9a^1 \cdot a^2 = 9a^{1+2} = 9a^3$.

Упростим второе выражение. Сначала возведем в степень произведение $(xy)^n = x^n y^n$: $(3a)^2 \cdot a = (3^2 \cdot a^2) \cdot a = 9a^2 \cdot a$. Затем применим свойство умножения степеней: $9a^2 \cdot a = 9a^2 \cdot a^1 = 9a^{2+1} = 9a^3$.

Оба выражения равны $9a^3$.

Ответ: являются.

5)

Сравним выражения $(a^4)^3$ и $(a^2)^6$.

Упростим оба выражения, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Первое выражение: $(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$.

Второе выражение: $(a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}$.

Оба выражения равны $a^{12}$.

Ответ: являются.

6)

Рассмотрим выражения $(2a)^3 \cdot (0,5a)^2$ и $2a^4a$.

Упростим первое выражение: $(2a)^3 \cdot (0,5a)^2 = (2^3 \cdot a^3) \cdot (0.5^2 \cdot a^2) = (8a^3) \cdot (0.25a^2)$. Перемножим коэффициенты и степени отдельно: $(8 \cdot 0.25) \cdot (a^3 \cdot a^2) = 2 \cdot a^{3+2} = 2a^5$.

Упростим второе выражение $2a^4a$, которое можно записать как $2a^4 \cdot a^1$: $2a^4 \cdot a^1 = 2a^{4+1} = 2a^5$.

Оба выражения равны $2a^5$.

Ответ: являются.

1355. Представьте в виде степени выражение и вычислите его значение:

1) $81 \cdot 3^2$;

2) $4^3 \cdot 8^2$;

3) $100^2 \cdot 1000^3$.

1) $81 \cdot 3^2$

Чтобы представить выражение в виде степени, необходимо привести все множители к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Число 81 можно представить как степень числа 3, поскольку $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. Таким образом, $81 = 3^4$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$81 \cdot 3^2 = 3^4 \cdot 3^2$.

Согласно свойству степеней, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$.

Мы представили выражение в виде степени $3^6$. Теперь вычислим его значение:

$3^6 = 729$.

Ответ: $3^6 = 729$.

2) $4^3 \cdot 8^2$

Приведем множители к общему основанию 2, так как $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в выражение:

$4^3 \cdot 8^2 = (2^2)^3 \cdot (2^3)^2$.

Согласно свойству степеней, при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$

Теперь выражение имеет вид:

$2^6 \cdot 2^6$.

Снова используем правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$2^6 \cdot 2^6 = 2^{6+6} = 2^{12}$.

Мы представили выражение в виде степени $2^{12}$. Вычислим его значение:

$2^{12} = 4096$.

Ответ: $2^{12} = 4096$.

3) $100^2 \cdot 1000^3$

Приведем множители к общему основанию 10. Мы знаем, что $100 = 10^2$ и $1000 = 10^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$100^2 \cdot 1000^3 = (10^2)^2 \cdot (10^3)^3$.

Используем свойство возведения степени в степень:

$(10^2)^2 = 10^{2 \cdot 2} = 10^4$.

$(10^3)^3 = 10^{3 \cdot 3} = 10^9$.

Теперь выражение выглядит следующим образом:

$10^4 \cdot 10^9$.

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$10^4 \cdot 10^9 = 10^{4+9} = 10^{13}$.

Мы представили выражение в виде степени $10^{13}$. Его значение — это число 1 с 13 нулями:

$10^{13} = 10\;000\;000\;000\;000$.

Ответ: $10^{13} = 10\;000\;000\;000\;000$.

1356. Сравните значения выражений:

1) $15^5 \cdot 2^6$ и $2^5 \cdot 15^6$

2) $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^4$ и $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^3$

1) Для того чтобы сравнить значения выражений $15^5 \cdot 2^6$ и $2^5 \cdot 15^6$, преобразуем их, выделив общие множители.
Первое выражение можно представить в виде:$15^5 \cdot 2^6 = 15^5 \cdot 2^5 \cdot 2^1 = (15 \cdot 2)^5 \cdot 2 = 30^5 \cdot 2$.
Второе выражение можно представить в виде:$2^5 \cdot 15^6 = 2^5 \cdot 15^5 \cdot 15^1 = (2 \cdot 15)^5 \cdot 15 = 30^5 \cdot 15$.
Теперь необходимо сравнить полученные произведения: $30^5 \cdot 2$ и $30^5 \cdot 15$. Так как общий множитель $30^5$ является положительным числом, для сравнения произведений достаточно сравнить вторые множители: $2$ и $15$.
Поскольку $2 < 15$, то и $30^5 \cdot 2 < 30^5 \cdot 15$.
Следовательно, $15^5 \cdot 2^6 < 2^5 \cdot 15^6$.
Ответ: $15^5 \cdot 2^6 < 2^5 \cdot 15^6$.

2) Чтобы сравнить выражения $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^4$ и $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^3$, выделим в каждом из них общий множитель. Общий множитель будет состоять из общих оснований в наименьших степенях, то есть $2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3$.
Представим первое выражение, выделив общий множитель:$2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^4 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 2^{5-4} \cdot 3^{3-3} \cdot 5^{4-3} = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 10$.
Представим второе выражение, выделив тот же общий множитель:$2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^3 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 2^{4-4} \cdot 3^{5-3} \cdot 5^{3-3} = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^0 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 1 \cdot 9 \cdot 1 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 9$.
Теперь сравним полученные произведения. Так как общий множитель $(2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3)$ является положительным числом, достаточно сравнить оставшиеся множители: $10$ и $9$.
Поскольку $10 > 9$, то и $(2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 10 > (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 9$.
Следовательно, исходное первое выражение больше второго.
Ответ: $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^4 > 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^3$.

1357. Сравните значения выражений:

1) $10^{20}$ и $101^{10}$.

2) $10^{15}$ и $9990^5$.

1) Чтобы сравнить значения выражений $10^{20}$ и $101^{10}$, приведем их к общему показателю степени. Заметим, что $20 = 2 \cdot 10$.

Преобразуем первое выражение, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$10^{20} = (10^2)^{10} = 100^{10}$.

Теперь задача сводится к сравнению двух степеней с одинаковым показателем: $100^{10}$ и $101^{10}$.

Поскольку основания степеней — положительные числа и $100 < 101$, то при возведении в одну и ту же положительную степень (10) неравенство сохраняется: $100^{10} < 101^{10}$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $10^{20} < 101^{10}$.

Ответ: $10^{20} < 101^{10}$.

2) Чтобы сравнить значения выражений $10^{15}$ и $9990^5$, так же, как и в предыдущем пункте, приведем их к общему показателю степени. Общим показателем будет 5, так как $15 = 3 \cdot 5$.

Преобразуем первое выражение:

$10^{15} = (10^3)^5 = 1000^5$.

Теперь нам нужно сравнить $1000^5$ и $9990^5$.

Так как показатели степеней одинаковы и равны 5, мы можем сравнить их основания.

Сравнивая основания, получаем: $1000 < 9990$.

Следовательно, $1000^5 < 9990^5$, а значит и $10^{15} < 9990^5$.

Ответ: $10^{15} < 9990^5$.

1358. Упростите выражение:

1) $4a \cdot (-3ab);$

2) $-2m^2 \cdot 0.1m^4n \cdot (-5n^3);$

3) $0.3a^2b^4 \cdot 1.2a^4b;$

4) $-6x^3y^6 \cdot 1.5xy;$

5) $-14b^2c^8d^9 \cdot 1\frac{2}{7}b^6d^3;$

6) $\frac{4}{9}a^4c \cdot (-12a^2c^3) \cdot 1.8a^4b^5;$

7) $3x^6 \cdot (-4x^2y)^2;$

8) $(-xy)^3 \cdot (-2x^2y^2)^4.$

1) Чтобы упростить выражение, необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$4a \cdot (-3ab) = (4 \cdot (-3)) \cdot (a^1 \cdot a^1) \cdot b = -12 \cdot a^{1+1} \cdot b = -12a^2b$.
Ответ: $-12a^2b$.

2) Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты между собой, а также степени с одинаковыми основаниями.
$-2m^2 \cdot 0,1m^4n \cdot (-5n^3) = (-2 \cdot 0,1 \cdot (-5)) \cdot (m^2 \cdot m^4) \cdot (n^1 \cdot n^3) = 1 \cdot m^{2+4} \cdot n^{1+3} = m^6n^4$.
Ответ: $m^6n^4$.

3) Перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$0,3a^2b^4 \cdot 1,2a^4b = (0,3 \cdot 1,2) \cdot (a^2 \cdot a^4) \cdot (b^4 \cdot b^1) = 0,36 \cdot a^{2+4} \cdot b^{4+1} = 0,36a^6b^5$.
Ответ: $0,36a^6b^5$.

4) Перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$-6x^3y^6 \cdot 1,5xy = (-6 \cdot 1,5) \cdot (x^3 \cdot x^1) \cdot (y^6 \cdot y^1) = -9 \cdot x^{3+1} \cdot y^{6+1} = -9x^4y^7$.
Ответ: $-9x^4y^7$.

5) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$. Затем перемножаем коэффициенты и переменные.
$-14b^2c^8d^9 \cdot 1\frac{2}{7}b^6d^3 = -14b^2c^8d^9 \cdot \frac{9}{7}b^6d^3 = (-14 \cdot \frac{9}{7}) \cdot (b^2 \cdot b^6) \cdot c^8 \cdot (d^9 \cdot d^3) = (-2 \cdot 9) \cdot b^{2+6} \cdot c^8 \cdot d^{9+3} = -18b^8c^8d^{12}$.
Ответ: $-18b^8c^8d^{12}$.

6) Преобразуем десятичную дробь $1,8$ в обыкновенную: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$. Далее сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные.
$\frac{4}{9}a^4c \cdot (-12a^2c^3) \cdot 1,8a^4b^5 = (\frac{4}{9} \cdot (-12) \cdot \frac{9}{5}) \cdot (a^4 \cdot a^2 \cdot a^4) \cdot b^5 \cdot (c^1 \cdot c^3) = \frac{4 \cdot (-12) \cdot 9}{9 \cdot 5} \cdot a^{4+2+4} \cdot b^5 \cdot c^{1+3} = -\frac{48}{5}a^{10}b^5c^4 = -9,6a^{10}b^5c^4$.
Ответ: $-9,6a^{10}b^5c^4$.

7) Сначала возведем в степень выражение в скобках, используя правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(-4x^2y)^2 = (-4)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2 = 16x^{2 \cdot 2}y^2 = 16x^4y^2$.
Теперь умножим полученный результат на первый множитель:
$3x^6 \cdot 16x^4y^2 = (3 \cdot 16) \cdot (x^6 \cdot x^4) \cdot y^2 = 48x^{6+4}y^2 = 48x^{10}y^2$.
Ответ: $48x^{10}y^2$.

8) Возведем каждый одночлен в соответствующую степень.
Первый множитель: $(-xy)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = -x^3y^3$.
Второй множитель: $(-2x^2y^2)^4 = (-2)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^2)^4 = 16 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{2 \cdot 4} = 16x^8y^8$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$(-x^3y^3) \cdot (16x^8y^8) = (-1 \cdot 16) \cdot (x^3 \cdot x^8) \cdot (y^3 \cdot y^8) = -16x^{3+8}y^{3+8} = -16x^{11}y^{11}$.
Ответ: $-16x^{11}y^{11}$.

1359. Представьте данный одночлен A в виде $B^n$, где B – некоторый одночлен, если:

1) $A = a^6b^9$, $n = 3;$

2) $A = 32a^{10}$, $n = 5;$

3) $A = 81a^2b^4c^8$, $n = 2;$

4) $A = -8a^{12}b^{18}$, $n = 3.$

1) A = $a^6b^9$, n = 3

Чтобы представить одночлен $A$ в виде $B^n$, необходимо найти такой одночлен $B$, что $A = B^n$. Это эквивалентно нахождению корня n-ой степени из одночлена $A$: $B = \sqrt[n]{A}$.
Для решения задачи воспользуемся свойством степени $(x^k y^m)^n = x^{kn}y^{mn}$. Следовательно, чтобы найти $B$, нужно извлечь корень n-ой степени из каждого множителя в одночлене $A$.
В данном случае $n=3$, поэтому ищем $B = \sqrt[3]{A} = \sqrt[3]{a^6b^9}$.
Применяя правило извлечения корня из степени ($\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$), получаем:
$B = (a^6)^{1/3} \cdot (b^9)^{1/3} = a^{6/3}b^{9/3} = a^2b^3$.
Проверка: $(a^2b^3)^3 = (a^2)^3(b^3)^3 = a^{2 \cdot 3}b^{3 \cdot 3} = a^6b^9$.
Ответ: $B = a^2b^3$.

2) A = $32a^{10}$, n = 5

Ищем одночлен $B$ такой, что $A = B^5$.
$B = \sqrt[5]{A} = \sqrt[5]{32a^{10}}$.
Извлекаем корень 5-й степени из числового коэффициента и каждой переменной:
$B = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{a^{10}}$.
Поскольку $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
Следовательно, $B = 2 \cdot a^{10/5} = 2a^2$.
Проверка: $(2a^2)^5 = 2^5 \cdot (a^2)^5 = 32 \cdot a^{2 \cdot 5} = 32a^{10}$.
Ответ: $B = 2a^2$.

3) A = $81a^2b^4c^8$, n = 2

Ищем одночлен $B$ такой, что $A = B^2$.
$B = \sqrt{A} = \sqrt{81a^2b^4c^8}$.
Извлекаем квадратный корень (корень 2-й степени) из каждого множителя:
$B = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^4} \cdot \sqrt{c^8}$.
Поскольку $9^2 = 81$, то $\sqrt{81} = 9$.
Следовательно, $B = 9 \cdot a^{2/2} \cdot b^{4/2} \cdot c^{8/2} = 9a^1b^2c^4 = 9ab^2c^4$.
Проверка: $(9ab^2c^4)^2 = 9^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 \cdot (c^4)^2 = 81a^2b^{4}c^{8}$.
Ответ: $B = 9ab^2c^4$.

4) A = $-8a^{12}b^{18}$, n = 3

Ищем одночлен $B$ такой, что $A = B^3$.
$B = \sqrt[3]{A} = \sqrt[3]{-8a^{12}b^{18}}$.
Извлекаем кубический корень (корень 3-й степени) из каждого множителя:
$B = \sqrt[3]{-8} \cdot \sqrt[3]{a^{12}} \cdot \sqrt[3]{b^{18}}$.
Поскольку $(-2)^3 = -8$, то $\sqrt[3]{-8} = -2$.
Следовательно, $B = -2 \cdot a^{12/3} \cdot b^{18/3} = -2a^4b^6$.
Проверка: $(-2a^4b^6)^3 = (-2)^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^6)^3 = -8 \cdot a^{4 \cdot 3} \cdot b^{6 \cdot 3} = -8a^{12}b^{18}$.
Ответ: $B = -2a^4b^6$.