Страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1343. Докажите, что при любом целом значении $a$ значение выражения
$(a-3)(a^2-a+2)-a(a-2)^2+2a$
делится нацело на 3.

Чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 3 при любом целом значении a, необходимо упростить данное выражение.

Исходное выражение: $(a-3)(a^2-a+2) - a(a-2)^2 + 2a$.

1. Раскроем первую часть выражения, перемножив многочлены:

$(a-3)(a^2-a+2) = a \cdot a^2 + a \cdot (-a) + a \cdot 2 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-a) - 3 \cdot 2 = a^3 - a^2 + 2a - 3a^2 + 3a - 6$.

Приведем подобные слагаемые: $a^3 - 4a^2 + 5a - 6$.

2. Теперь раскроем вторую часть выражения, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$-a(a-2)^2 = -a(a^2 - 4a + 4) = -a \cdot a^2 - a \cdot (-4a) - a \cdot 4 = -a^3 + 4a^2 - 4a$.

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - 4a^2 + 5a - 6) + (-a^3 + 4a^2 - 4a) + 2a = a^3 - 4a^2 + 5a - 6 - a^3 + 4a^2 - 4a + 2a$.

Сгруппируем подобные члены:

$(a^3 - a^3) + (-4a^2 + 4a^2) + (5a - 4a + 2a) - 6 = 0 + 0 + 3a - 6 = 3a - 6$.

4. В полученном выражении вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3a - 6 = 3(a-2)$.

По условию, a является целым числом, значит, разность $(a-2)$ также является целым числом. Произведение числа 3 на любое целое число всегда делится нацело на 3. Следовательно, значение исходного выражения делится нацело на 3 при любом целом значении a.

Ответ: Утверждение доказано, так как после упрощения выражение принимает вид $3(a-2)$, которое при любом целом a делится нацело на 3.

1344. Докажите тождество $ (a - bc)^2 - 2(b^2c^2 - a^2) + (bc + a)^2 = 4a^2 $.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, последовательно раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, чтобы показать, что она равна правой части.

Левая часть равенства: $(a - bc)^2 - 2(b^2c^2 - a^2) + (bc + a)^2$.

1. Раскроем первую скобку, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - bc)^2 = a^2 - 2abc + (bc)^2 = a^2 - 2abc + b^2c^2$.

2. Раскроем вторую скобку, умножив $-2$ на каждый член внутри нее:

$-2(b^2c^2 - a^2) = -2b^2c^2 + 2a^2$.

3. Раскроем третью скобку, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(bc + a)^2 = (bc)^2 + 2abc + a^2 = b^2c^2 + 2abc + a^2$.

4. Теперь подставим все раскрытые части обратно в исходное выражение:

$ (a^2 - 2abc + b^2c^2) + (-2b^2c^2 + 2a^2) + (b^2c^2 + 2abc + a^2) $

5. Уберем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$a^2 - 2abc + b^2c^2 - 2b^2c^2 + 2a^2 + b^2c^2 + 2abc + a^2 = (a^2 + 2a^2 + a^2) + (-2abc + 2abc) + (b^2c^2 - 2b^2c^2 + b^2c^2)$.

6. Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$4a^2 + 0 + 0 = 4a^2$.

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна $4a^2$, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

1345. Разложите на множители выражение:

1) $4kn + 6ak + 6an + 9a^2;$

2) $b^6 - 4b^4 + 12b^2 - 9;$

3) $y^4(x^2 + 8x + 16) - a^8;$

4) $9x^2 - 6x - 35.$

1) Для разложения на множители выражения $4kn + 6ak + 6an + 9a^2$ воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(4kn + 6ak) + (6an + 9a^2)$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $2k$, во второй — $3a$:
$2k(2n + 3a) + 3a(2n + 3a)$
Теперь мы видим общий множитель $(2n + 3a)$, который также можно вынести за скобки:
$(2n + 3a)(2k + 3a)$
Ответ: $(2n + 3a)(2k + 3a)$.

2) Рассмотрим выражение $b^6 - 4b^4 + 12b^2 - 9$. Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить формулу сокращенного умножения. Вынесем минус за скобку у последних трех слагаемых:
$b^6 - (4b^4 - 12b^2 + 9)$
Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности: $4b^4 - 12b^2 + 9 = (2b^2)^2 - 2 \cdot (2b^2) \cdot 3 + 3^2 = (2b^2 - 3)^2$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$b^6 - (2b^2 - 3)^2$
Теперь мы имеем разность квадратов, так как $b^6 = (b^3)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(b^3)^2 - (2b^2 - 3)^2 = (b^3 - (2b^2 - 3))(b^3 + (2b^2 - 3))$
Раскроем внутренние скобки:
$(b^3 - 2b^2 + 3)(b^3 + 2b^2 - 3)$
Данные кубические многочлены можно разложить дальше, найдя их целочисленные корни. Для многочлена $b^3 + 2b^2 - 3$ корень $b=1$, тогда $(b^3 + 2b^2 - 3) = (b-1)(b^2+3b+3)$. Для многочлена $b^3 - 2b^2 + 3$ корень $b=-1$, тогда $(b^3 - 2b^2 + 3) = (b+1)(b^2-3b+3)$. Квадратные трехчлены $b^2+3b+3$ и $b^2-3b+3$ не имеют действительных корней и дальше не раскладываются.
Ответ: $(b-1)(b+1)(b^2 - 3b + 3)(b^2 + 3b + 3)$.

3) В выражении $y^4(x^2 + 8x + 16) - a^8$ заметим, что выражение в скобках является полным квадратом:
$x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2$
Подставим это в исходное выражение:
$y^4(x+4)^2 - a^8$
Это выражение можно представить в виде разности квадратов, заметив, что $y^4(x+4)^2 = (y^2(x+4))^2$ и $a^8 = (a^4)^2$:
$(y^2(x+4))^2 - (a^4)^2$
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$(y^2(x+4) - a^4)(y^2(x+4) + a^4)$
Раскроем скобки внутри множителей для окончательного вида:
$(xy^2 + 4y^2 - a^4)(xy^2 + 4y^2 + a^4)$
Ответ: $(xy^2 + 4y^2 - a^4)(xy^2 + 4y^2 + a^4)$.

4) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $9x^2 - 6x - 35$, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 6x - 35 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-35) = 36 + 1260 = 1296 = 36^2$
Теперь найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{6 + 36}{2 \cdot 9} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{6 - 36}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3}$
Воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$9(x - \frac{7}{3})(x - (-\frac{5}{3})) = 9(x - \frac{7}{3})(x + \frac{5}{3})$
Чтобы получить множители с целыми коэффициентами, внесем множитель 9 (представив его как $3 \cdot 3$) в скобки:
$(3(x - \frac{7}{3}))(3(x + \frac{5}{3})) = (3x - 7)(3x + 5)$
Ответ: $(3x - 7)(3x + 5)$.

1346. Известно, что $x + y = a$, $xy = b$, $x^2 + y^2 = c$. Найдите зависимость между $a$, $b$ и $c$.

Для того чтобы найти зависимость между $a$, $b$ и $c$, воспользуемся известной формулой сокращенного умножения для квадрата суммы двух чисел:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Из этого тождества мы можем выразить сумму квадратов $x^2 + y^2$ через сумму $(x+y)$ и произведение $xy$:

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$

Согласно условию задачи, нам известны следующие значения:

• Сумма чисел: $x + y = a$
• Произведение чисел: $xy = b$
• Сумма квадратов чисел: $x^2 + y^2 = c$

Теперь подставим эти значения в выведенную нами формулу. Заменим $x^2 + y^2$ на $c$, $(x + y)$ на $a$ и $xy$ на $b$:

$c = (a)^2 - 2(b)$

Таким образом, искомая зависимость между $a$, $b$ и $c$ имеет вид:

$c = a^2 - 2b$

Ответ: $c = a^2 - 2b$

1347. Точки $A (2; 3)$ и $B (5; a)$ принадлежат прямой $y = kx$. Найдите значение $a$.

Поскольку точки A(2; 3) и B(5; a) принадлежат прямой $y = kx$, их координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой.

Сначала используем координаты точки A(2; 3), чтобы найти коэффициент $k$. Подставим $x = 2$ и $y = 3$ в уравнение прямой:

$3 = k \cdot 2$

Отсюда находим значение $k$:

$k = \frac{3}{2}$ или $k = 1.5$

Теперь мы знаем, что уравнение прямой имеет вид $y = \frac{3}{2}x$.

Далее, используем координаты точки B(5; a), чтобы найти значение $a$. Подставим $x = 5$ и $y = a$ в найденное уравнение прямой:

$a = \frac{3}{2} \cdot 5$

Вычисляем значение $a$:

$a = \frac{15}{2}$

$a = 7.5$

Ответ: $a = 7.5$

1348. Найдите такие значения x, при которых выражение

$(a - 1)^2 + 4(a - 1) - x$

можно представить в виде квадрата суммы.

Для того чтобы выражение можно было представить в виде квадрата суммы, оно должно соответствовать формуле полного квадрата: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Рассмотрим данное выражение: $(a-1)^2 + 4(a-1) - x$.

Давайте попробуем привести его к виду формулы полного квадрата. Сделаем замену, чтобы упростить вид выражения. Пусть $A = (a-1)$. Тогда выражение примет вид:

$A^2 + 4A - x$

Теперь сравним это выражение с формулой полного квадрата $A^2 + 2AB + B^2$.

Первый член $A^2$ в нашем выражении соответствует $A^2$ в формуле.

Второй член $4A$ должен соответствовать члену $2AB$ из формулы. Приравняем их:

$2AB = 4A$

Разделим обе части равенства на $2A$ (считая, что $A \neq 0$, то есть $a \neq 1$):

$B = 2$

Третий член нашего выражения $-x$ должен соответствовать члену $B^2$ из формулы. Зная, что $B=2$, находим:

$B^2 = 2^2 = 4$

Следовательно, должно выполняться равенство:

$-x = B^2$

$-x = 4$

$x = -4$

Проверим, подставив найденное значение $x = -4$ в исходное выражение:

$(a-1)^2 + 4(a-1) - (-4) = (a-1)^2 + 4(a-1) + 4$

Это выражение является полным квадратом, где $A = (a-1)$ и $B=2$:

$(a-1)^2 + 2 \cdot (a-1) \cdot 2 + 2^2 = ((a-1)+2)^2 = (a+1)^2$

Таким образом, при $x=-4$ исходное выражение можно представить в виде квадрата суммы $(a+1)^2$.

Ответ: $x = -4$

1349. Графики функций $y = ax + 12$ и $y = (3-a)x + a$ пересекаются в точке с абсциссой 2. Найдите ординату точки их пересечения.

Поскольку графики функций пересекаются в одной точке, в этой точке их значения $y$ при одном и том же значении $x$ равны. Это позволяет нам приравнять выражения для $y$ из обоих уравнений:

$ax + 12 = (3 - a)x + a$

По условию, абсцисса точки пересечения равна 2. Это означает, что $x = 2$. Подставим это значение в наше равенство, чтобы найти значение параметра $a$.

$a \cdot 2 + 12 = (3 - a) \cdot 2 + a$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$2a + 12 = 6 - 2a + a$

$2a + 12 = 6 - a$

Соберем все слагаемые с $a$ в левой части, а числовые значения — в правой:

$2a + a = 6 - 12$

$3a = -6$

$a = \frac{-6}{3}$

$a = -2$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, мы можем вычислить ординату (координату $y$) точки пересечения. Для этого подставим значения $x = 2$ и $a = -2$ в уравнение любой из исходных функций.

Возьмем первую функцию $y = ax + 12$:

$y = (-2) \cdot 2 + 12$

$y = -4 + 12$

$y = 8$

Для проверки можно подставить эти же значения и во вторую функцию $y = (3 - a)x + a$:

$y = (3 - (-2)) \cdot 2 + (-2)$

$y = (3 + 2) \cdot 2 - 2$

$y = 5 \cdot 2 - 2$

$y = 10 - 2$

$y = 8$

Оба вычисления дали один и тот же результат, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 8

1350. Докажите, что квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два подхода.

Способ 1: Группировка делителей по парам

Пусть $M$ — это квадрат некоторого натурального числа $n$, то есть $M = n^2$. Рассмотрим все делители числа $M$.

Если число $d$ является делителем $M$, то число $M/d$ также является делителем $M$. Таким образом, все делители можно сгруппировать в пары вида $(d, M/d)$.

Рассмотрим два случая для такой пары:

1. $d \neq M/d$. В этом случае мы имеем пару из двух различных делителей.
2. $d = M/d$. Это равенство эквивалентно $d^2 = M$. Поскольку $M = n^2$, то $d^2 = n^2$, откуда следует, что $d = n$ (так как делители — натуральные числа).

Таким образом, все делители числа $M$, кроме одного, можно разбить на пары. Этот единственный делитель, который не имеет пары (точнее, образует пару сам с собой), — это число $n$, так как для него пара имеет вид $(n, n^2/n) = (n, n)$.

Все остальные делители $d \neq n$ образуют пары $(d, M/d)$, где $d \neq M/d$. Количество таких делителей всегда четно, так как они объединены в пары.

Общее количество делителей числа $M$ равно сумме количества делителей в парах (четное число) и одного "одиночного" делителя $n$. Четное число плюс один всегда дает нечетное число.

Например, рассмотрим число $36 = 6^2$. Его делители: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Пары делителей: (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9). Делитель, образующий пару сам с собой: 6. Всего делителей: $4 \times 2 + 1 = 9$, что является нечетным числом.

Способ 2: Использование канонического разложения на простые множители

Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число $n > 1$ можно единственным образом представить в виде произведения простых чисел (каноническое разложение): $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$, где $p_1, p_2, \ldots, p_k$ — различные простые числа, а $a_1, a_2, \ldots, a_k$ — их натуральные степени. (Для $n=1$ это разложение считается "пустым").

Тогда квадрат этого числа, $M = n^2$, будет иметь следующее разложение: $M = n^2 = (p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k})^2 = p_1^{2a_1} \cdot p_2^{2a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{2a_k}$.

Известно, что количество натуральных делителей числа, заданного своим каноническим разложением, вычисляется по формуле. Если каноническое разложение числа $X$ имеет вид $X = q_1^{e_1} \cdot q_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot q_m^{e_m}$, то количество его делителей $\tau(X)$ равно: $\tau(X) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\ldots(e_m + 1)$.

Применим эту формулу к числу $M = n^2$: $\tau(M) = (2a_1 + 1)(2a_2 + 1)\ldots(2a_k + 1)$.

Рассмотрим каждый множитель в этой формуле. Он имеет вид $2a_i + 1$. Так как $a_i$ — натуральное число, то $2a_i$ — это всегда четное число. Сумма четного числа и единицы $(2a_i + 1)$ всегда является нечетным числом.

Таким образом, общее количество делителей $\tau(M)$ представляет собой произведение нескольких нечетных чисел. Произведение любого количества нечетных чисел всегда является нечетным числом.

В случае $n=1$, его квадрат $n^2=1$. У числа 1 ровно один делитель (само число 1). 1 — это нечетное число, что подтверждает утверждение.

Следовательно, количество делителей квадрата любого натурального числа является нечетным.

Ответ: Утверждение доказано. Квадрат натурального числа $n^2$ всегда имеет нечетное количество делителей. Это следует из того, что все его делители, кроме корня из этого числа ($n$), можно разбить на пары $(d, n^2/d)$, либо из того, что в формуле для числа делителей, основанной на каноническом разложении, все показатели степеней простых множителей у квадрата числа являются четными, что приводит к произведению нечетных сомножителей.