Номер 1343, страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1343, страница 256.

Условие.

1343. Докажите, что при любом целом значении $a$ значение выражения
$(a-3)(a^2-a+2)-a(a-2)^2+2a$
делится нацело на 3.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 3 при любом целом значении a, необходимо упростить данное выражение.

Исходное выражение: $(a-3)(a^2-a+2) - a(a-2)^2 + 2a$.

1. Раскроем первую часть выражения, перемножив многочлены:

$(a-3)(a^2-a+2) = a \cdot a^2 + a \cdot (-a) + a \cdot 2 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-a) - 3 \cdot 2 = a^3 - a^2 + 2a - 3a^2 + 3a - 6$.

Приведем подобные слагаемые: $a^3 - 4a^2 + 5a - 6$.

2. Теперь раскроем вторую часть выражения, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$-a(a-2)^2 = -a(a^2 - 4a + 4) = -a \cdot a^2 - a \cdot (-4a) - a \cdot 4 = -a^3 + 4a^2 - 4a$.

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - 4a^2 + 5a - 6) + (-a^3 + 4a^2 - 4a) + 2a = a^3 - 4a^2 + 5a - 6 - a^3 + 4a^2 - 4a + 2a$.

Сгруппируем подобные члены:

$(a^3 - a^3) + (-4a^2 + 4a^2) + (5a - 4a + 2a) - 6 = 0 + 0 + 3a - 6 = 3a - 6$.

4. В полученном выражении вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3a - 6 = 3(a-2)$.

По условию, a является целым числом, значит, разность $(a-2)$ также является целым числом. Произведение числа 3 на любое целое число всегда делится нацело на 3. Следовательно, значение исходного выражения делится нацело на 3 при любом целом значении a.

Ответ: Утверждение доказано, так как после упрощения выражение принимает вид $3(a-2)$, которое при любом целом a делится нацело на 3.