Номер 1350, страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1350, страница 256.

Условие.

1350. Докажите, что квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два подхода.

Способ 1: Группировка делителей по парам

Пусть $M$ — это квадрат некоторого натурального числа $n$, то есть $M = n^2$. Рассмотрим все делители числа $M$.

Если число $d$ является делителем $M$, то число $M/d$ также является делителем $M$. Таким образом, все делители можно сгруппировать в пары вида $(d, M/d)$.

Рассмотрим два случая для такой пары:

1. $d \neq M/d$. В этом случае мы имеем пару из двух различных делителей.
2. $d = M/d$. Это равенство эквивалентно $d^2 = M$. Поскольку $M = n^2$, то $d^2 = n^2$, откуда следует, что $d = n$ (так как делители — натуральные числа).

Таким образом, все делители числа $M$, кроме одного, можно разбить на пары. Этот единственный делитель, который не имеет пары (точнее, образует пару сам с собой), — это число $n$, так как для него пара имеет вид $(n, n^2/n) = (n, n)$.

Все остальные делители $d \neq n$ образуют пары $(d, M/d)$, где $d \neq M/d$. Количество таких делителей всегда четно, так как они объединены в пары.

Общее количество делителей числа $M$ равно сумме количества делителей в парах (четное число) и одного "одиночного" делителя $n$. Четное число плюс один всегда дает нечетное число.

Например, рассмотрим число $36 = 6^2$. Его делители: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Пары делителей: (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9). Делитель, образующий пару сам с собой: 6. Всего делителей: $4 \times 2 + 1 = 9$, что является нечетным числом.

Способ 2: Использование канонического разложения на простые множители

Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число $n > 1$ можно единственным образом представить в виде произведения простых чисел (каноническое разложение): $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$, где $p_1, p_2, \ldots, p_k$ — различные простые числа, а $a_1, a_2, \ldots, a_k$ — их натуральные степени. (Для $n=1$ это разложение считается "пустым").

Тогда квадрат этого числа, $M = n^2$, будет иметь следующее разложение: $M = n^2 = (p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k})^2 = p_1^{2a_1} \cdot p_2^{2a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{2a_k}$.

Известно, что количество натуральных делителей числа, заданного своим каноническим разложением, вычисляется по формуле. Если каноническое разложение числа $X$ имеет вид $X = q_1^{e_1} \cdot q_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot q_m^{e_m}$, то количество его делителей $\tau(X)$ равно: $\tau(X) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\ldots(e_m + 1)$.

Применим эту формулу к числу $M = n^2$: $\tau(M) = (2a_1 + 1)(2a_2 + 1)\ldots(2a_k + 1)$.

Рассмотрим каждый множитель в этой формуле. Он имеет вид $2a_i + 1$. Так как $a_i$ — натуральное число, то $2a_i$ — это всегда четное число. Сумма четного числа и единицы $(2a_i + 1)$ всегда является нечетным числом.

Таким образом, общее количество делителей $\tau(M)$ представляет собой произведение нескольких нечетных чисел. Произведение любого количества нечетных чисел всегда является нечетным числом.

В случае $n=1$, его квадрат $n^2=1$. У числа 1 ровно один делитель (само число 1). 1 — это нечетное число, что подтверждает утверждение.

Следовательно, количество делителей квадрата любого натурального числа является нечетным.

Ответ: Утверждение доказано. Квадрат натурального числа $n^2$ всегда имеет нечетное количество делителей. Это следует из того, что все его делители, кроме корня из этого числа ($n$), можно разбить на пары $(d, n^2/d)$, либо из того, что в формуле для числа делителей, основанной на каноническом разложении, все показатели степеней простых множителей у квадрата числа являются четными, что приводит к произведению нечетных сомножителей.