Номер 6, страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 7 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 6, страница 257.

Условие.

6. При каком значении a система уравнений

$ \begin{cases} 3x + y = 4, \\ x - ay = -6 \end{cases} $

не имеет решений?

А) 3

Б) -3

В) $ \frac{1}{3} $

Г) $ -\frac{1}{3} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида

$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $

не имеет решений в том и только в том случае, когда графики уравнений являются параллельными, но не совпадающими прямыми. Алгебраически это условие выражается как пропорциональность коэффициентов при переменных и их непропорциональность свободным членам:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Рассмотрим данную в задаче систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 4 \\ x - ay = -6 \end{cases} $

Коэффициенты в этой системе следующие:

$A_1 = 3$, $B_1 = 1$, $C_1 = 4$

$A_2 = 1$, $B_2 = -a$, $C_2 = -6$

Чтобы система не имела решений, должно выполняться равенство отношений коэффициентов при $x$ и $y$. Запишем это равенство:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} $

Подставим значения коэффициентов из нашей системы:

$ \frac{3}{1} = \frac{1}{-a} $

Теперь решим это уравнение относительно параметра $a$:

$ 3 = -\frac{1}{a} $

Умножим обе части на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$ 3a = -1 $

$ a = -\frac{1}{3} $

Далее необходимо убедиться, что при найденном значении $a$ отношение коэффициентов не равно отношению свободных членов. Проверим неравенство:

$ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Вычислим левую часть при $a = -\frac{1}{3}$:

$ \frac{1}{-a} = \frac{1}{-(-\frac{1}{3})} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 $

Вычислим правую часть:

$ \frac{C_1}{C_2} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3} $

Так как $3 \neq -\frac{2}{3}$, условие выполняется. Следовательно, система не имеет решений именно при $a = -\frac{1}{3}$.

Ответ: Г) $-\frac{1}{3}$