Номер 7, страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 7 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 7, страница 257.

Условие.

7. При каком значении $b$ система уравнений

$$\begin{cases} 4x + by = 10, \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$$

имеет бесконечно много решений?

А) -6

Б) 6

В) 3

Г) такого значения не существует

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы система линейных уравнений$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены были пропорциональны. Это означает, что должно выполняться следующее условие:$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$

Рассмотрим данную в задаче систему уравнений:$$\begin{cases} 4x + by = 10 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$$Здесь коэффициенты равны:
$a_1 = 4$, $b_1 = b$, $c_1 = 10$
$a_2 = 2$, $b_2 = -3$, $c_2 = 5$

Подставим эти значения в условие пропорциональности:$$\frac{4}{2} = \frac{b}{-3} = \frac{10}{5}$$

Вычислим значения известных отношений:$$\frac{4}{2} = 2$$$$\frac{10}{5} = 2$$

Таким образом, наше равенство принимает вид:$$2 = \frac{b}{-3} = 2$$Чтобы это равенство было верным, необходимо, чтобы центральное отношение также было равно 2. Составим и решим уравнение для $b$:$$\frac{b}{-3} = 2$$Умножим обе части уравнения на -3:$$b = 2 \cdot (-3)$$$$b = -6$$

Следовательно, при $b = -6$ система будет иметь бесконечно много решений. Проверим: если подставить $b=-6$ в первое уравнение, получим $4x - 6y = 10$. Если разделить это уравнение на 2, получим $2x - 3y = 5$, что в точности совпадает со вторым уравнением системы. Это означает, что уравнения эквивалентны и описывают одну и ту же прямую, а значит, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: -6