Номер 10, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 7 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 10, страница 258.

Условие.

10. Из двух городов, расстояние между которыми 60 км, выехали одновременно грузовая и легковая машины. Если они поедут навстречу друг другу, то встретятся через 30 мин. Если они поедут в одном направлении, то легковая машина догонит грузовую через 3 ч после начала движения. Пусть скорость грузовой машины равна $x$ км/ч, а легковой - $y$ км/ч. Какая из следующих систем уравнений соответствует условию задачи?

А) $\begin{cases} 0,5x + 0,5y = 60 \\ 3y - 3x = 60 \end{cases}$

Б) $\begin{cases} 30x + 30y = 60 \\ 3y - 3x = 60 \end{cases}$

В) $\begin{cases} 30x + 30y = 60 \\ 3x - 3y = 60 \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 0,5x + 0,5y = 60 \\ 3x - 3y = 60 \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи необходимо составить систему из двух линейных уравнений с двумя переменными, исходя из условий движения автомобилей. В задаче указано, что скорость грузовой машины равна $x$ км/ч, а скорость легковой машины — $y$ км/ч.

Составление первого уравнения (движение навстречу)
В первом сценарии машины выезжают из двух городов и едут навстречу друг другу. Когда объекты движутся навстречу, их скорости складываются. Такая скорость называется скоростью сближения. В данном случае она равна $v_{сбл} = x + y$ км/ч.
Им нужно вместе преодолеть расстояние между городами, равное $S = 60$ км.
Время, через которое они встретятся, составляет $t_1 = 30$ минут. Для правильного расчета необходимо перевести минуты в часы, так как скорость измеряется в км/ч: $t_1 = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.
Используем основную формулу движения: расстояние равно скорости, умноженной на время ($S = v \cdot t$).
Подставив наши значения, получаем:
$(x + y) \cdot 0.5 = 60$
Раскрыв скобки, получаем первое уравнение системы:
$0.5x + 0.5y = 60$

Составление второго уравнения (движение в одном направлении)
Во втором сценарии машины едут в одном направлении, и легковая машина догоняет грузовую. Это означает, что скорость легковой машины больше скорости грузовой ($y > x$). Скорость, с которой легковая машина сокращает расстояние до грузовой (относительная скорость или скорость сближения), равна разности их скоростей: $v_{отн} = y - x$ км/ч.
Начальное расстояние между ними, которое легковой машине нужно "наверстать", равно $S = 60$ км.
Время, за которое легковая машина догонит грузовую, равно $t_2 = 3$ часа.
Применяем ту же формулу $S = v \cdot t$:
$(y - x) \cdot 3 = 60$
Раскрыв скобки, получаем второе уравнение системы:
$3y - 3x = 60$

Итоговая система и выбор ответа
Объединив два полученных уравнения, мы формируем искомую систему: $$ \begin{cases} 0.5x + 0.5y = 60 \\ 3y - 3x = 60 \end{cases} $$ Сравнивая эту систему с предложенными вариантами, мы видим, что она полностью совпадает с вариантом А.

Ответ: А