Номер 1354, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1354, страница 259.

Условие.

1354.Являются ли тождественно равными выражения:

1) $-a^2$ и $(-a)^2$;

2) $-a^3$ и $(-a)^3$;

3) $(a^3)^2$ и $a^5$;

4) $9a \cdot a^2$ и $(3a)^2 \cdot a$;

5) $(a^4)^3$ и $(a^2)^6$;

6) $(2a)^3 \cdot (0.5a)^2$ и $2a^4a$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Чтобы определить, являются ли выражения $-a^2$ и $(-a)^2$ тождественно равными, упростим каждое из них.

Первое выражение: $-a^2$. Порядок действий предписывает сначала возвести $a$ в квадрат, а затем применить унарный минус. То есть, $-a^2 = -(a \cdot a)$.

Второе выражение: $(-a)^2$. Здесь сначала число $a$ берется с противоположным знаком, а затем результат возводится в квадрат. Используя свойство степени, $(-a)^2 = (-a) \cdot (-a) = a^2$.

Сравним полученные выражения: $-a^2$ и $a^2$. Эти выражения равны только при $a=0$. Для всех остальных значений $a$ они не равны (например, при $a=1$ получаем $-1$ и $1$). Следовательно, выражения не являются тождественно равными.

Ответ: не являются.

2)

Рассмотрим выражения $-a^3$ и $(-a)^3$.

Первое выражение: $-a^3$. Это означает $-(a \cdot a \cdot a)$.

Второе выражение: $(-a)^3$. Возведение в нечетную степень отрицательного числа дает отрицательный результат. $(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) = (a^2) \cdot (-a) = -a^3$.

Сравнивая упрощенные выражения $-a^3$ и $-a^3$, мы видим, что они одинаковы для любого значения $a$.

Ответ: являются.

3)

Сравним выражения $(a^3)^2$ и $a^5$.

Упростим первое выражение, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.

Теперь сравним результат $a^6$ со вторым выражением $a^5$. Эти выражения не равны для любого $a$, кроме $a=0$ и $a=1$. Следовательно, они не являются тождественно равными.

Ответ: не являются.

4)

Рассмотрим выражения $9a \cdot a^2$ и $(3a)^2 \cdot a$.

Упростим первое выражение, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $9a \cdot a^2 = 9a^1 \cdot a^2 = 9a^{1+2} = 9a^3$.

Упростим второе выражение. Сначала возведем в степень произведение $(xy)^n = x^n y^n$: $(3a)^2 \cdot a = (3^2 \cdot a^2) \cdot a = 9a^2 \cdot a$. Затем применим свойство умножения степеней: $9a^2 \cdot a = 9a^2 \cdot a^1 = 9a^{2+1} = 9a^3$.

Оба выражения равны $9a^3$.

Ответ: являются.

5)

Сравним выражения $(a^4)^3$ и $(a^2)^6$.

Упростим оба выражения, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Первое выражение: $(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$.

Второе выражение: $(a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}$.

Оба выражения равны $a^{12}$.

Ответ: являются.

6)

Рассмотрим выражения $(2a)^3 \cdot (0,5a)^2$ и $2a^4a$.

Упростим первое выражение: $(2a)^3 \cdot (0,5a)^2 = (2^3 \cdot a^3) \cdot (0.5^2 \cdot a^2) = (8a^3) \cdot (0.25a^2)$. Перемножим коэффициенты и степени отдельно: $(8 \cdot 0.25) \cdot (a^3 \cdot a^2) = 2 \cdot a^{3+2} = 2a^5$.

Упростим второе выражение $2a^4a$, которое можно записать как $2a^4 \cdot a^1$: $2a^4 \cdot a^1 = 2a^{4+1} = 2a^5$.

Оба выражения равны $2a^5$.

Ответ: являются.