Номер 1356, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1356, страница 259.

Условие.

1356. Сравните значения выражений:

1) $15^5 \cdot 2^6$ и $2^5 \cdot 15^6$

2) $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^4$ и $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^3$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы сравнить значения выражений $15^5 \cdot 2^6$ и $2^5 \cdot 15^6$, преобразуем их, выделив общие множители.
Первое выражение можно представить в виде:$15^5 \cdot 2^6 = 15^5 \cdot 2^5 \cdot 2^1 = (15 \cdot 2)^5 \cdot 2 = 30^5 \cdot 2$.
Второе выражение можно представить в виде:$2^5 \cdot 15^6 = 2^5 \cdot 15^5 \cdot 15^1 = (2 \cdot 15)^5 \cdot 15 = 30^5 \cdot 15$.
Теперь необходимо сравнить полученные произведения: $30^5 \cdot 2$ и $30^5 \cdot 15$. Так как общий множитель $30^5$ является положительным числом, для сравнения произведений достаточно сравнить вторые множители: $2$ и $15$.
Поскольку $2 < 15$, то и $30^5 \cdot 2 < 30^5 \cdot 15$.
Следовательно, $15^5 \cdot 2^6 < 2^5 \cdot 15^6$.
Ответ: $15^5 \cdot 2^6 < 2^5 \cdot 15^6$.

2) Чтобы сравнить выражения $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^4$ и $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^3$, выделим в каждом из них общий множитель. Общий множитель будет состоять из общих оснований в наименьших степенях, то есть $2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3$.
Представим первое выражение, выделив общий множитель:$2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^4 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 2^{5-4} \cdot 3^{3-3} \cdot 5^{4-3} = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 10$.
Представим второе выражение, выделив тот же общий множитель:$2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^3 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 2^{4-4} \cdot 3^{5-3} \cdot 5^{3-3} = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^0 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 1 \cdot 9 \cdot 1 = (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 9$.
Теперь сравним полученные произведения. Так как общий множитель $(2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3)$ является положительным числом, достаточно сравнить оставшиеся множители: $10$ и $9$.
Поскольку $10 > 9$, то и $(2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 10 > (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3) \cdot 9$.
Следовательно, исходное первое выражение больше второго.
Ответ: $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^4 > 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^3$.