Номер 1348, страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1348, страница 256.

Условие.

1348. Найдите такие значения x, при которых выражение

$(a - 1)^2 + 4(a - 1) - x$

можно представить в виде квадрата суммы.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы выражение можно было представить в виде квадрата суммы, оно должно соответствовать формуле полного квадрата: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Рассмотрим данное выражение: $(a-1)^2 + 4(a-1) - x$.

Давайте попробуем привести его к виду формулы полного квадрата. Сделаем замену, чтобы упростить вид выражения. Пусть $A = (a-1)$. Тогда выражение примет вид:

$A^2 + 4A - x$

Теперь сравним это выражение с формулой полного квадрата $A^2 + 2AB + B^2$.

Первый член $A^2$ в нашем выражении соответствует $A^2$ в формуле.

Второй член $4A$ должен соответствовать члену $2AB$ из формулы. Приравняем их:

$2AB = 4A$

Разделим обе части равенства на $2A$ (считая, что $A \neq 0$, то есть $a \neq 1$):

$B = 2$

Третий член нашего выражения $-x$ должен соответствовать члену $B^2$ из формулы. Зная, что $B=2$, находим:

$B^2 = 2^2 = 4$

Следовательно, должно выполняться равенство:

$-x = B^2$

$-x = 4$

$x = -4$

Проверим, подставив найденное значение $x = -4$ в исходное выражение:

$(a-1)^2 + 4(a-1) - (-4) = (a-1)^2 + 4(a-1) + 4$

Это выражение является полным квадратом, где $A = (a-1)$ и $B=2$:

$(a-1)^2 + 2 \cdot (a-1) \cdot 2 + 2^2 = ((a-1)+2)^2 = (a+1)^2$

Таким образом, при $x=-4$ исходное выражение можно представить в виде квадрата суммы $(a+1)^2$.

Ответ: $x = -4$