Номер 1337, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1337, страница 255.

Условие.

1337. (Задача Л. Н. Толстого) Вышла в поле артель косарей. Она должна выкосить два луга, из которых один в два раза больше другого. Пол-дня вся артель косила больший луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать больший луг, а вторая начала косить меньший. До вечера больший луг был скошен, а от меньшего остался участок, который скосил на следующий день один косарь, работавший целый день. Сколько косарей было в артели?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные и выразим площадь лугов через объем выполненной работы. За единицу работы примем «человеко-день» — это тот объем, который выполняет один косарь за один полный рабочий день.

Пусть $N$ — искомое количество косарей в артели. По условию, артель делилась пополам, значит, $N$ — четное число.

Пусть $S_{большой}$ — площадь большого луга, а $S_{малый}$ — площадь малого луга. По условию, $S_{большой} = 2 \cdot S_{малый}$.

Определим объем работы, затраченный на покос большого луга.

В первую половину дня (что составляет 0,5 дня) на большом лугу работала вся артель из $N$ косарей. Объем выполненной работы составил:
$W_1 = N \cdot 0,5 = 0,5N$ человеко-дней.

Во вторую половину дня (еще 0,5 дня) на нем работала половина артели, то есть $\frac{N}{2}$ косарей. Объем выполненной работы составил:
$W_2 = \frac{N}{2} \cdot 0,5 = 0,25N$ человеко-дней.

К вечеру большой луг был полностью скошен. Следовательно, его площадь эквивалентна суммарной работе:
$S_{большой} = W_1 + W_2 = 0,5N + 0,25N = 0,75N$ человеко-дней.

Определим объем работы, затраченный на покос малого луга.

Во вторую половину дня (0,5 дня) на малом лугу работала вторая половина артели, то есть $\frac{N}{2}$ косарей. Объем выполненной работы составил:
$W_3 = \frac{N}{2} \cdot 0,5 = 0,25N$ человеко-дней.

На следующий день оставшийся участок скосил один косарь, который работал целый день (1 день). Объем выполненной работы составил:
$W_4 = 1 \cdot 1 = 1$ человеко-день.

Таким образом, площадь малого луга эквивалентна сумме этих работ:
$S_{малый} = W_3 + W_4 = 0,25N + 1$ человеко-дней.

Составим и решим уравнение.

Теперь используем основное условие задачи $S_{большой} = 2 \cdot S_{малый}$ и подставим в него полученные выражения:
$0,75N = 2 \cdot (0,25N + 1)$

Решим это уравнение относительно $N$:
$0,75N = 0,5N + 2$
$0,75N - 0,5N = 2$
$0,25N = 2$
$N = \frac{2}{0,25}$
$N = 8$

Таким образом, в артели было 8 косарей.

Проверка.
Если в артели 8 косарей, то:
Площадь большого луга составляет $S_{большой} = 0,75 \cdot 8 = 6$ человеко-дней.
Площадь малого луга составляет $S_{малый} = 0,25 \cdot 8 + 1 = 2 + 1 = 3$ человеко-дня.
Соотношение площадей $6 = 2 \cdot 3$ выполняется, что соответствует условию задачи.

Ответ: в артели было 8 косарей.