Номер 1334, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1334, страница 254.

Условие.

1334. В одном баке было 12 л воды, а в другом – 32 л. Если первый бак долить доверху водой из второго бака, то второй бак останется наполненным на половину своего объёма. Если второй бак долить доверху водой из первого, то первый бак останется наполненным на шестую часть своего объёма. Найдите объём каждого бака.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $V_1$ — объём первого бака в литрах, а $V_2$ — объём второго бака в литрах.

1. Составление уравнения на основе первого условия.
В первом баке находится 12 л воды. Чтобы долить его доверху, необходимо долить $V_1 - 12$ л воды. Эту воду берут из второго бака, в котором было 32 л. После переливания во втором баке останется $32 - (V_1 - 12)$ л воды. Согласно условию, этот остаток составляет половину объёма второго бака, то есть $\frac{1}{2}V_2$.
Составим первое уравнение:
$32 - (V_1 - 12) = \frac{1}{2}V_2$
$32 - V_1 + 12 = \frac{1}{2}V_2$
$44 - V_1 = \frac{1}{2}V_2$

2. Составление уравнения на основе второго условия.
Во втором баке находится 32 л воды. Чтобы долить его доверху, необходимо долить $V_2 - 32$ л воды. Эту воду берут из первого бака, в котором было 12 л. После переливания в первом баке останется $12 - (V_2 - 32)$ л воды. Согласно условию, этот остаток составляет шестую часть объёма первого бака, то есть $\frac{1}{6}V_1$.
Составим второе уравнение:
$12 - (V_2 - 32) = \frac{1}{6}V_1$
$12 - V_2 + 32 = \frac{1}{6}V_1$
$44 - V_2 = \frac{1}{6}V_1$

3. Решение системы уравнений.
Мы получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} 44 - V_1 = \frac{1}{2}V_2 \\ 44 - V_2 = \frac{1}{6}V_1 \end{cases}$
Выразим $V_2$ из первого уравнения:
$V_2 = 2(44 - V_1) = 88 - 2V_1$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$44 - (88 - 2V_1) = \frac{1}{6}V_1$
$44 - 88 + 2V_1 = \frac{1}{6}V_1$
$-44 + 2V_1 = \frac{1}{6}V_1$
Перенесем слагаемые с $V_1$ в одну сторону, а числовое значение в другую:
$2V_1 - \frac{1}{6}V_1 = 44$
$\frac{12V_1 - V_1}{6} = 44$
$\frac{11V_1}{6} = 44$
$V_1 = \frac{44 \cdot 6}{11}$
$V_1 = 4 \cdot 6 = 24$ (л)
Теперь найдем объём второго бака, подставив значение $V_1$ в выражение для $V_2$:
$V_2 = 88 - 2V_1 = 88 - 2 \cdot 24 = 88 - 48 = 40$ (л)

Ответ: объём первого бака — 24 л, объём второго бака — 40 л.