Номер 1336, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1336, страница 255.

Условие.

1336. Существует ли двузначное число, удовлетворяющее таким условиям: цифра в разряде десятков этого числа на $2$ больше цифры в разряде его единиц, а разность между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна:

1) $20$;

2) $18$?

Если такое число существует, найдите его.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомое двузначное число представлено в виде $\overline{ab}$, где $a$ – это цифра в разряде десятков, а $b$ – это цифра в разряде единиц. Тогда значение этого числа можно записать как $10a + b$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет $\overline{ba}$, и его значение равно $10b + a$.

Согласно первому условию задачи, цифра в разряде десятков на 2 больше цифры в разряде единиц. Это можно выразить уравнением: $a = b + 2$

Разность между исходным числом и числом, записанным в обратном порядке, равна: $(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$

Теперь мы можем подставить в это выражение условие $a = b + 2$, из которого следует, что $a - b = 2$: $9(a - b) = 9 \cdot 2 = 18$

Это означает, что для любого двузначного числа, у которого цифра десятков на 2 больше цифры единиц, разность между этим числом и его «перевернутой» версией всегда будет равна 18. Теперь проверим заданные в вопросе случаи.

1) Разность равна 20.

Мы уже установили, что для чисел, удовлетворяющих первому условию задачи, разность всегда составляет 18. Так как $18 \neq 20$, то не существует двузначного числа, которое бы удовлетворяло обоим условиям одновременно.

Ответ: не существует.

2) Разность равна 18.

Как было показано выше, это условие выполняется для любого двузначного числа, у которого цифра десятков на 2 больше цифры единиц ($a = b + 2$). Найдем все такие числа.

Так как $a$ — это цифра десятков, она не может быть нулем ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). Переберем все возможные значения для $b$:

• если $b=0$, то $a=0+2=2$. Получаем число 20. (Проверка: $20-02=18$)
• если $b=1$, то $a=1+2=3$. Получаем число 31. (Проверка: $31-13=18$)
• если $b=2$, то $a=2+2=4$. Получаем число 42. (Проверка: $42-24=18$)
• если $b=3$, то $a=3+2=5$. Получаем число 53. (Проверка: $53-35=18$)
• если $b=4$, то $a=4+2=6$. Получаем число 64. (Проверка: $64-46=18$)
• если $b=5$, то $a=5+2=7$. Получаем число 75. (Проверка: $75-57=18$)
• если $b=6$, то $a=6+2=8$. Получаем число 86. (Проверка: $86-68=18$)
• если $b=7$, то $a=7+2=9$. Получаем число 97. (Проверка: $97-79=18$)

Если $b$ будет равно 8 или больше, то значение $a$ станет 10 или больше, что невозможно для цифры. Таким образом, мы нашли все существующие числа.

Ответ: да, существует, и это любое из чисел: 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97.