Номер 1340, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1340, страница 255.

Условие.

1340.Постройте график функции:

1) $y = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 8x^3;$

2) $y = (x + 1)(x + 4) - (x + 3)^2;$

3) $y = (0,5x + 2)^2 - (0,5x - 1)(0,5x + 1).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Для построения графика функции $y = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 8x^3$ сначала упростим ее выражение.

Первая часть выражения, $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$, является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 2x$ и $b = 1$.

Применим формулу:

$(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) = (2x)^3 - 1^3 = 8x^3 - 1$.

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходную функцию:

$y = (8x^3 - 1) - 8x^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$y = 8x^3 - 1 - 8x^3 = -1$.

Таким образом, исходная функция сводится к $y = -1$.

Графиком этой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox), проходящая через все точки, у которых ордината равна -1. Например, через точку $(0, -1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -1$, которая параллельна оси Ox и проходит через точку $(0, -1)$.

2)

Для построения графика функции $y = (x + 1)(x + 4) - (x + 3)^2$ сначала упростим ее выражение.

Раскроем скобки. Сначала перемножим первые два множителя:

$(x + 1)(x + 4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$.

Затем раскроем квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

Подставим полученные выражения в исходную функцию:

$y = (x^2 + 5x + 4) - (x^2 + 6x + 9) = x^2 + 5x + 4 - x^2 - 6x - 9$.

Приведем подобные слагаемые:

$y = (x^2 - x^2) + (5x - 6x) + (4 - 9) = -x - 5$.

В результате упрощения мы получили линейную функцию $y = -x - 5$.

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно найти две точки. Найдем точки пересечения с осями координат:

1. Если $x = 0$, то $y = -0 - 5 = -5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5)$.

2. Если $y = 0$, то $0 = -x - 5$, откуда $x = -5$. Точка пересечения с осью Ox: $(-5, 0)$.

Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x - 5$, проходящая через точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$.

3)

Для построения графика функции $y = (0,5x + 2)^2 - (0,5x - 1)(0,5x + 1)$ сначала упростим ее выражение.

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения.

Для первого слагаемого применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(0,5x + 2)^2 = (0,5x)^2 + 2 \cdot 0,5x \cdot 2 + 2^2 = 0,25x^2 + 2x + 4$.

Для второго слагаемого применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(0,5x - 1)(0,5x + 1) = (0,5x)^2 - 1^2 = 0,25x^2 - 1$.

Подставим полученные выражения в исходную функцию:

$y = (0,25x^2 + 2x + 4) - (0,25x^2 - 1) = 0,25x^2 + 2x + 4 - 0,25x^2 + 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$y = (0,25x^2 - 0,25x^2) + 2x + (4 + 1) = 2x + 5$.

В результате упрощения мы получили линейную функцию $y = 2x + 5$.

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:

1. Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 5)$.

2. Если $y = 0$, то $0 = 2x + 5$, откуда $2x = -5$ и $x = -2,5$. Точка пересечения с осью Ox: $(-2,5; 0)$.

Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, 5)$ и $(-2,5; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 2x + 5$, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(-2,5; 0)$.