Номер 1330, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1330, страница 254.

Условие.

1330. Масса смеси, состоящей из двух веществ, составляла 800 г. После того как из неё выделили $\frac{5}{8}$ первого вещества и 60% второго, в смеси осталось первого вещества на 72 г меньше, чем второго. Сколько граммов каждого вещества было в смеси сначала?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть масса первого вещества в смеси изначально составляла x граммов, а масса второго вещества — y граммов.

Поскольку общая масса смеси составляла 800 г, мы можем составить первое уравнение:
$x + y = 800$

Из смеси выделили $\frac{5}{8}$ первого вещества. Следовательно, в смеси осталась часть первого вещества, равная:
$1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$
Масса оставшегося первого вещества составляет $\frac{3}{8}x$ г.

Из смеси выделили 60% второго вещества. Это означает, что в смеси осталась часть второго вещества, равная:
$100\% - 60\% = 40\%$
Масса оставшегося второго вещества составляет $0,4y$ г.

Согласно условию, после выделения части веществ, масса первого вещества оказалась на 72 г меньше массы второго. На основе этого составим второе уравнение:
$0,4y - \frac{3}{8}x = 72$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = 800 \\ 0,4y - \frac{3}{8}x = 72 \end{cases}$

Выразим переменную y из первого уравнения:
$y = 800 - x$

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение:
$0,4(800 - x) - \frac{3}{8}x = 72$

Теперь решим это уравнение относительно x. Для удобства вычислений представим $0,4$ как обыкновенную дробь $\frac{2}{5}$.
$\frac{2}{5}(800 - x) - \frac{3}{8}x = 72$
Раскроем скобки:
$\frac{2}{5} \cdot 800 - \frac{2}{5}x - \frac{3}{8}x = 72$
$320 - \frac{2}{5}x - \frac{3}{8}x = 72$
Сгруппируем члены с x и перенесем 320 в правую часть уравнения:
$-\frac{2}{5}x - \frac{3}{8}x = 72 - 320$
$-(\frac{2}{5} + \frac{3}{8})x = -248$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 40:
$-(\frac{16}{40} + \frac{15}{40})x = -248$
$-\frac{31}{40}x = -248$
Умножим обе части уравнения на -1:
$\frac{31}{40}x = 248$
Найдем x:
$x = 248 : \frac{31}{40} = 248 \cdot \frac{40}{31}$
$x = \frac{248 \cdot 40}{31} = 8 \cdot 40 = 320$
Следовательно, начальная масса первого вещества составляла 320 г.

Теперь найдем начальную массу второго вещества, подставив значение x в первое уравнение:
$y = 800 - x = 800 - 320 = 480$
Начальная масса второго вещества составляла 480 г.

Проверка:
Масса первого вещества, оставшаяся в смеси: $\frac{3}{8} \cdot 320 \text{ г} = 3 \cdot 40 \text{ г} = 120$ г.
Масса второго вещества, оставшаяся в смеси: $0,4 \cdot 480 \text{ г} = 192$ г.
Разница масс: $192 \text{ г} - 120 \text{ г} = 72$ г.
Условие задачи выполнено.

Ответ: изначально в смеси было 320 г первого вещества и 480 г второго вещества.