Страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1292. Найдите два числа, если их сумма равна 63, а разность равна 19.

Для решения задачи обозначим два искомых числа через переменные. Пусть первое (большее) число будет $x$, а второе (меньшее) число — $y$.

Исходя из условий задачи, составим систему из двух уравнений:

1. Сумма чисел равна 63, что записывается как уравнение: $x + y = 63$.

2. Разность чисел равна 19, что записывается как уравнение: $x - y = 19$.

Получаем следующую систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 63 \\ x - y = 19 \end{cases} $$

Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения. Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 63 + 19$

Упростим полученное уравнение. Переменные $y$ и $-y$ взаимно уничтожаются.

$2x = 82$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{82}{2} = 41$

Таким образом, первое (большее) число равно 41.

Для нахождения второго числа ($y$) подставим значение $x = 41$ в первое уравнение системы ($x + y = 63$):

$41 + y = 63$

Теперь решим это уравнение относительно $y$:

$y = 63 - 41$

$y = 22$

Следовательно, второе (меньшее) число равно 22.

Выполним проверку найденных значений. Сумма чисел: $41 + 22 = 63$. Разность чисел: $41 - 22 = 19$. Оба условия задачи выполняются, значит, решение верное.

Ответ: 41 и 22.

1293. Найдите два числа, если их разность равна 23, а сумма удвоенного большего из этих чисел и второго числа равна 22.

Пусть одно число будет $x$, а другое $y$. По условию, $x$ является большим числом.

Из условия задачи известно, что разность этих чисел равна 23. Составим первое уравнение:
$x - y = 23$

Также известно, что сумма удвоенного большего числа ($2x$) и второго числа ($y$) равна 22. Составим второе уравнение:
$2x + y = 22$

Получаем систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 23 \\ 2x + y = 22 \end{cases} $

Для решения системы уравнений применим метод сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(x - y) + (2x + y) = 23 + 22$
$3x = 45$

Найдем значение $x$:
$x = \frac{45}{3}$
$x = 15$

Теперь, когда мы нашли большее число, подставим его значение в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$15 - y = 23$

Решим уравнение относительно $y$:
$-y = 23 - 15$
$-y = 8$
$y = -8$

Таким образом, искомые числа равны 15 и -8.

Выполним проверку:
1. Разность чисел: $15 - (-8) = 15 + 8 = 23$. Условие выполняется.
2. Сумма удвоенного большего числа и второго числа: $2 \cdot 15 + (-8) = 30 - 8 = 22$. Условие выполняется.

Ответ: 15 и -8.

1294. (Задача из рассказа «Репетитор» А. П. Чехова) Купец купил 138 арш.¹ чёрного и синего сукна за 540 р. Сколько аршин он купил того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а чёрное 3 р.?

Для решения этой задачи можно использовать два способа: алгебраический (с помощью системы уравнений) и арифметический.

Пусть $x$ — количество аршин синего сукна, а $y$ — количество аршин чёрного сукна.
Исходя из условия, что всего купец купил 138 аршин сукна, составим первое уравнение:
$x + y = 138$
Общая стоимость покупки составила 540 рублей. Стоимость всего синего сукна равна $5x$ рублей, а стоимость всего чёрного сукна — $3y$ рублей. Составим второе уравнение:
$5x + 3y = 540$
Получаем систему из двух уравнений:$$ \begin{cases} x + y = 138 \\ 5x + 3y = 540 \end{cases} $$Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 138 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $x$:
$5x + 3(138 - x) = 540$
$5x + 414 - 3x = 540$
$2x = 540 - 414$
$2x = 126$
$x = 126 / 2$
$x = 63$
Таким образом, было куплено 63 аршина синего сукна.
Теперь найдём количество чёрного сукна, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 138 - 63 = 75$
Следовательно, было куплено 75 аршин чёрного сукна.
Проверим: $63 \cdot 5 + 75 \cdot 3 = 315 + 225 = 540$ рублей. Всё верно.

Ответ: купец купил 63 аршина синего сукна и 75 аршин чёрного сукна.

1. Предположим, что все 138 аршин сукна были куплены по минимальной цене, то есть по 3 рубля за аршин (как чёрное сукно). Тогда вся покупка стоила бы:
$138 \cdot 3 = 414$ рублей.
2. Найдём разницу между реальной стоимостью покупки и нашей гипотетической:
$540 - 414 = 126$ рублей.
3. Эта разница в 126 рублей возникла из-за того, что часть сукна была дороже. Найдём, на сколько синее сукно дороже чёрного за один аршин:
$5 - 3 = 2$ рубля.
4. Каждая замена одного аршина дешёвого сукна на дорогое увеличивает общую стоимость на 2 рубля. Чтобы узнать, сколько аршин дорогого (синего) сукна было куплено, разделим общую разницу в стоимости на разницу в цене за аршин:
$126 / 2 = 63$ аршина.
Итак, было куплено 63 аршина синего сукна.
5. Теперь найдём количество чёрного сукна, вычтя из общего количества количество синего:
$138 - 63 = 75$ аршин.
Было куплено 75 аршин чёрного сукна.

Ответ: было куплено 63 аршина синего сукна и 75 аршин чёрного сукна.

1295. Группа из 46 туристов отправилась в поход на 10 лодках, часть из которых были четырёхместными, а остальные — шестиместными. Сколько было лодок каждого вида?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество четырёхместных лодок, а $y$ — количество шестиместных лодок.

Из условия задачи мы знаем, что всего было 10 лодок. Это позволяет нам составить первое уравнение:
$x + y = 10$

Также мы знаем, что общее количество туристов равно 46. Суммарная вместимость всех лодок должна соответствовать этому числу. Это даёт нам второе уравнение:
$4x + 6y = 46$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 10 \\ 4x + 6y = 46 \end{cases}$

Для решения этой системы выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$x = 10 - y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$4(10 - y) + 6y = 46$

Решим полученное уравнение относительно $y$:
$40 - 4y + 6y = 46$
$40 + 2y = 46$
$2y = 46 - 40$
$2y = 6$
$y = \frac{6}{2}$
$y = 3$
Следовательно, было 3 шестиместных лодки.

Теперь, зная значение $y$, мы можем найти количество четырёхместных лодок, подставив $y=3$ в выражение для $x$:
$x = 10 - 3 = 7$
Таким образом, было 7 четырёхместных лодок.

Проверка:
Проверим, соответствуют ли найденные значения условиям задачи.
Общее количество лодок: $7 + 3 = 10$. (Верно)
Общее количество туристов: $(7 \times 4) + (3 \times 6) = 28 + 18 = 46$. (Верно)
Все условия выполнены.

Ответ: было 7 четырёхместных лодок и 3 шестиместных лодки.

1296. Чтобы накормить 4 лошадей и 12 коров, надо 120 кг сена в день, а чтобы накормить 3 лошадей и 20 коров – 167 кг сена. Найдите дневную норму сена для лошади и для коровы.

$4x + 12y = 120$

$3x + 20y = 167$

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это дневная норма сена для одной лошади (в кг), а $y$ — дневная норма сена для одной коровы (в кг).

Исходя из первого условия, "чтобы накормить 4 лошадей и 12 коров, надо 120 кг сена в день", мы можем составить первое уравнение:

$4x + 12y = 120$

Из второго условия, "чтобы накормить 3 лошадей и 20 коров — 167 кг сена", мы получаем второе уравнение:

$3x + 20y = 167$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 4x + 12y = 120 \\ 3x + 20y = 167 \end{cases}$

Для удобства решения разделим все члены первого уравнения на 4:

$(4x + 12y) \div 4 = 120 \div 4$

$x + 3y = 30$

Теперь выразим $x$ через $y$ из этого упрощенного уравнения:

$x = 30 - 3y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы ($3x + 20y = 167$):

$3(30 - 3y) + 20y = 167$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$90 - 9y + 20y = 167$

$90 + 11y = 167$

$11y = 167 - 90$

$11y = 77$

$y = 77 \div 11$

$y = 7$

Итак, мы нашли, что дневная норма сена для одной коровы составляет 7 кг.

Теперь найдем дневную норму сена для лошади, подставив значение $y=7$ в выражение для $x$:

$x = 30 - 3y$

$x = 30 - 3 \cdot 7$

$x = 30 - 21$

$x = 9$

Следовательно, дневная норма сена для одной лошади составляет 9 кг.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x=9$ и $y=7$ в исходные уравнения:

1) $4 \cdot 9 + 12 \cdot 7 = 36 + 84 = 120$ кг. (Верно)

2) $3 \cdot 9 + 20 \cdot 7 = 27 + 140 = 167$ кг. (Верно)

Ответ: дневная норма сена для лошади — 9 кг, для коровы — 7 кг.

1297. В первый день 2 гусеничных трактора и один колёсный вспахали 22 га, а во второй день 3 гусеничных и 8 колёсных – 72 га. Найдите, сколько гектаров земли обрабатывал ежедневно один гусеничный трактор и сколько – один колёсный.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество гектаров, которое вспахивает за день один гусеничный трактор, а $y$ — количество гектаров, которое вспахивает за день один колёсный трактор.

Согласно условиям задачи, можно составить следующие уравнения:
1) За первый день 2 гусеничных и 1 колёсный трактор вспахали 22 га: $2x + y = 22$.
2) За второй день 3 гусеничных и 8 колёсных тракторов вспахали 72 га: $3x + 8y = 72$.

Мы получили систему линейных уравнений:
$\begin{cases} 2x + y = 22 \\ 3x + 8y = 72 \end{cases}$

Для её решения воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 22 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$3x + 8(22 - 2x) = 72$

Решим это уравнение относительно $x$:
$3x + 176 - 16x = 72$
$176 - 13x = 72$
$13x = 176 - 72$
$13x = 104$
$x = \frac{104}{13}$
$x = 8$

Теперь, зная значение $x$, найдем значение $y$:
$y = 22 - 2x = 22 - 2 \cdot 8 = 22 - 16 = 6$
$y = 6$

Таким образом, мы нашли ежедневную производительность каждого вида тракторов.

сколько гектаров земли обрабатывал ежедневно один гусеничный трактор
Производительность одного гусеничного трактора составляет 8 гектаров в день.
Ответ: 8 га.

сколько — один колёсный
Производительность одного колёсного трактора составляет 6 гектаров в день.
Ответ: 6 га.

1298. Двое рабочих изготовили 135 деталей. Первый работал 7 дней, а второй – 12 дней. Сколько деталей изготавливал ежедневно каждый рабочий, если первый за 3 дня сделал на 3 детали больше, чем второй за 4 дня?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготавливал первый рабочий за один день, а $y$ — количество деталей, которое изготавливал второй рабочий за один день.

Согласно условию, двое рабочих вместе изготовили 135 деталей. Первый рабочий работал 7 дней, а второй — 12 дней. Таким образом, общее количество деталей, изготовленных первым рабочим, составляет $7x$, а вторым — $12y$. Мы можем составить первое уравнение:

$7x + 12y = 135$

Также в условии сказано, что первый рабочий за 3 дня сделал на 3 детали больше, чем второй за 4 дня. За 3 дня первый рабочий изготовил $3x$ деталей, а второй за 4 дня — $4y$ деталей. На основе этого составим второе уравнение:

$3x = 4y + 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 7x + 12y = 135 \\ 3x - 4y = 3 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод сложения. Для этого умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:

$3 \cdot (3x - 4y) = 3 \cdot 3$

$9x - 12y = 9$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(7x + 12y) + (9x - 12y) = 135 + 9$

$16x = 144$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{144}{16}$

$x = 9$

Итак, первый рабочий изготавливал 9 деталей в день.

Подставим найденное значение $x=9$ во второе исходное уравнение ($3x - 4y = 3$), чтобы найти $y$:

$3(9) - 4y = 3$

$27 - 4y = 3$

$4y = 27 - 3$

$4y = 24$

$y = \frac{24}{4}$

$y = 6$

Следовательно, второй рабочий изготавливал 6 деталей в день.

Выполним проверку.
1. Общее количество деталей: $7 \cdot 9 + 12 \cdot 6 = 63 + 72 = 135$. Верно.
2. Сравнение производительности: первый за 3 дня изготовил $3 \cdot 9 = 27$ деталей; второй за 4 дня изготовил $4 \cdot 6 = 24$ детали. Разница: $27 - 24 = 3$ детали. Верно.

Ответ: первый рабочий изготавливал 9 деталей ежедневно, а второй рабочий — 6 деталей.

1299. Две бригады собирали яблоки. В первый день одна бригада работала 5 ч, а другая – 4 ч, причём вместе они собрали 40 ц яблок. На следующий день бригады работали с той же производительностью труда, причём первая бригада собрала за 3 ч на 2 ц больше, чем вторая за 2 ч. Сколько центнеров яблок собирала каждая бригада за 1 ч?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — производительность первой бригады в центнерах яблок в час (ц/ч), а $y$ — производительность второй бригады (ц/ч).

Исходя из условия, что в первый день одна бригада работала 5 часов, а другая — 4 часа, и вместе они собрали 40 центнеров яблок, мы можем составить первое уравнение. За 5 часов первая бригада собрала $5x$ ц яблок, а вторая за 4 часа — $4y$ ц яблок. Суммарный сбор составляет 40 ц:

$5x + 4y = 40$

Из второго условия известно, что производительность бригад осталась прежней. Первая бригада за 3 часа ($3x$ ц) собрала на 2 центнера больше, чем вторая за 2 часа ($2y$ ц). Это можно выразить вторым уравнением:

$3x = 2y + 2$

Для удобства решения приведем второе уравнение к стандартному виду:

$3x - 2y = 2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 5x + 4y = 40 \\ 3x - 2y = 2 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод сложения. Для этого умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:

$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 2$

$6x - 4y = 4$

Теперь сложим почленно первое уравнение ($5x + 4y = 40$) и полученное третье уравнение ($6x - 4y = 4$):

$(5x + 4y) + (6x - 4y) = 40 + 4$

$11x = 44$

$x = \frac{44}{11}$

$x = 4$

Итак, производительность первой бригады составляет 4 ц/ч.

Теперь найдем производительность второй бригады, подставив значение $x=4$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся вторым уравнением $3x - 2y = 2$:

$3(4) - 2y = 2$

$12 - 2y = 2$

$10 = 2y$

$y = 5$

Производительность второй бригады составляет 5 ц/ч.

Проверим решение, подставив найденные значения $x=4$ и $y=5$ в первое уравнение $5x + 4y = 40$:

$5(4) + 4(5) = 20 + 20 = 40$

$40 = 40$

Равенство верное, значит, задача решена правильно.

Ответ: первая бригада собирала 4 центнера яблок за 1 час, вторая бригада — 5 центнеров яблок за 1 час.