Страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1269. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2(4x - 5) - 3(3 + 4y) = 5 \\ 7(6y - 1) - (4 + 3x) = 21y - 86 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} -2(2x + 1) + 2,5 = 3(y + 2) - 8x \\ 8 - 5(4 - x) = 6y - (5 - x) \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{x + 2}{6} - \frac{y - 3}{15} = 1 \\ \frac{x + 2,5}{9} - \frac{y + 3}{6} = \frac{1}{3} \end{cases} $

1) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 2(4x - 5) - 3(3 + 4y) = 5, \\ 7(6y - 1) - (4 + 3x) = 21y - 86; \end{cases} $
Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$2(4x - 5) - 3(3 + 4y) = 5$
$8x - 10 - 9 - 12y = 5$
$8x - 12y - 19 = 5$
$8x - 12y = 24$
Разделим обе части на 4:
$2x - 3y = 6$
Второе уравнение:
$7(6y - 1) - (4 + 3x) = 21y - 86$
$42y - 7 - 4 - 3x = 21y - 86$
$-3x + 42y - 11 = 21y - 86$
Перенесем переменные в левую часть, а константы в правую:
$-3x + 42y - 21y = -86 + 11$
$-3x + 21y = -75$
Разделим обе части на -3:
$x - 7y = 25$
Получили упрощенную систему:
$ \begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ x - 7y = 25; \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = 25 + 7y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(25 + 7y) - 3y = 6$
$50 + 14y - 3y = 6$
$11y = 6 - 50$
$11y = -44$
$y = -4$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 25 + 7(-4) = 25 - 28 = -3$
Ответ: $(-3; -4)$.

2) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} -2(2x + 1) + 2,5 = 3(y + 2) - 8x, \\ 8 - 5(4 - x) = 6y - (5 - x); \end{cases} $
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$-2(2x + 1) + 2,5 = 3(y + 2) - 8x$
$-4x - 2 + 2,5 = 3y + 6 - 8x$
$-4x + 0,5 = 3y + 6 - 8x$
$8x - 4x - 3y = 6 - 0,5$
$4x - 3y = 5,5$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:
$8x - 6y = 11$
Второе уравнение:
$8 - 5(4 - x) = 6y - (5 - x)$
$8 - 20 + 5x = 6y - 5 + x$
$5x - 12 = 6y + x - 5$
$5x - x - 6y = 12 - 5$
$4x - 6y = 7$
Получили упрощенную систему:
$ \begin{cases} 8x - 6y = 11, \\ 4x - 6y = 7; \end{cases} $
Решим систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:
$(8x - 6y) - (4x - 6y) = 11 - 7$
$8x - 4x = 4$
$4x = 4$
$x = 1$
Подставим значение $x$ во второе упрощенное уравнение:
$4(1) - 6y = 7$
$4 - 6y = 7$
$-6y = 3$
$y = -0,5$
Ответ: $(1; -0,5)$.

3) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4; \end{cases} $
Избавимся от знаменателей в каждом уравнении.
Первое уравнение: умножим на наименьший общий знаменатель 6.
$6(\frac{x}{2}) - 6(\frac{y}{3}) = 6(3)$
$3x - 2y = 18$
Второе уравнение: умножим на наименьший общий знаменатель 12.
$12(\frac{3x}{4}) + 12(\frac{5y}{6}) = 12(4)$
$3(3x) + 2(5y) = 48$
$9x + 10y = 48$
Получили систему:
$ \begin{cases} 3x - 2y = 18, \\ 9x + 10y = 48; \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5:
$5(3x - 2y) = 5(18) \implies 15x - 10y = 90$
Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:
$(15x - 10y) + (9x + 10y) = 90 + 48$
$24x = 138$
$x = \frac{138}{24} = \frac{23}{4}$
Подставим значение $x$ в уравнение $3x - 2y = 18$:
$3(\frac{23}{4}) - 2y = 18$
$\frac{69}{4} - 2y = 18$
$-2y = 18 - \frac{69}{4}$
$-2y = \frac{72}{4} - \frac{69}{4}$
$-2y = \frac{3}{4}$
$y = -\frac{3}{8}$
Ответ: $(\frac{23}{4}; -\frac{3}{8})$.

4) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x + 2}{6} - \frac{y - 3}{15} = 1, \\ \frac{x + 2,5}{9} - \frac{y + 3}{6} = \frac{1}{3}; \end{cases} $
Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей.
Первое уравнение: наименьший общий знаменатель 6 и 15 равен 30. Умножим на 30.
$30(\frac{x + 2}{6}) - 30(\frac{y - 3}{15}) = 30(1)$
$5(x + 2) - 2(y - 3) = 30$
$5x + 10 - 2y + 6 = 30$
$5x - 2y = 30 - 16$
$5x - 2y = 14$
Второе уравнение: наименьший общий знаменатель 9, 6 и 3 равен 18. Умножим на 18.
$18(\frac{x + 2,5}{9}) - 18(\frac{y + 3}{6}) = 18(\frac{1}{3})$
$2(x + 2,5) - 3(y + 3) = 6$
$2x + 5 - 3y - 9 = 6$
$2x - 3y - 4 = 6$
$2x - 3y = 10$
Получили систему:
$ \begin{cases} 5x - 2y = 14, \\ 2x - 3y = 10; \end{cases} $
Решим систему методом сложения (вычитания). Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали одинаковыми по модулю.
$3(5x - 2y) = 3(14) \implies 15x - 6y = 42$
$2(2x - 3y) = 2(10) \implies 4x - 6y = 20$
Вычтем второе полученное уравнение из первого:
$(15x - 6y) - (4x - 6y) = 42 - 20$
$11x = 22$
$x = 2$
Подставим значение $x$ в уравнение $2x - 3y = 10$:
$2(2) - 3y = 10$
$4 - 3y = 10$
$-3y = 6$
$y = -2$
Ответ: $(2; -2)$.

1270. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 0,2x - 0,3(2y + 1) = 1,5, \\ 3(x + 1) + 3y = 2y - 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{15x - 3y}{4} + \frac{3x + 2y}{6} = 3, \\ \frac{3x + y}{3} - \frac{x - 3y}{2} = 6. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 0,2x - 0,3(2y + 1) = 1,5 \\ 3(x + 1) + 3y = 2y - 2 \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:

$0,2x - 0,3(2y + 1) = 1,5$

Раскроем скобки:

$0,2x - 0,6y - 0,3 = 1,5$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$0,2x - 0,6y = 1,5 + 0,3$

$0,2x - 0,6y = 1,8$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (0,2x - 0,6y) = 10 \cdot 1,8$

$2x - 6y = 18$

Для удобства разделим обе части на 2:

$x - 3y = 9$

Второе уравнение:

$3(x + 1) + 3y = 2y - 2$

Раскроем скобки:

$3x + 3 + 3y = 2y - 2$

Перенесем переменные в левую часть, а числа — в правую:

$3x + 3y - 2y = -2 - 3$

$3x + y = -5$

Теперь мы имеем упрощенную систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - 3y = 9 \\ 3x + y = -5 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 9 + 3y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$3(9 + 3y) + y = -5$

$27 + 9y + y = -5$

$27 + 10y = -5$

$10y = -5 - 27$

$10y = -32$

$y = -3,2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 9 + 3(-3,2) = 9 - 9,6 = -0,6$

Решение системы: $x = -0,6$, $y = -3,2$.

Ответ: $(-0,6; -3,2)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{15x - 3y}{4} + \frac{3x + 2y}{6} = 3 \\ \frac{3x + y}{3} - \frac{x - 3y}{2} = 6 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, избавившись от дробей.

Первое уравнение:

$\frac{15x - 3y}{4} + \frac{3x + 2y}{6} = 3$

Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 — это 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{15x - 3y}{4} + 12 \cdot \frac{3x + 2y}{6} = 12 \cdot 3$

$3(15x - 3y) + 2(3x + 2y) = 36$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$45x - 9y + 6x + 4y = 36$

$51x - 5y = 36$

Второе уравнение:

$\frac{3x + y}{3} - \frac{x - 3y}{2} = 6$

Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 — это 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{3x + y}{3} - 6 \cdot \frac{x - 3y}{2} = 6 \cdot 6$

$2(3x + y) - 3(x - 3y) = 36$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6x + 2y - 3x + 9y = 36$

$3x + 11y = 36$

Теперь мы имеем упрощенную систему:

$ \begin{cases} 51x - 5y = 36 \\ 3x + 11y = 36 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными, умножим второе уравнение на -17:

$-17(3x + 11y) = -17 \cdot 36$

$-51x - 187y = -612$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(51x - 5y) + (-51x - 187y) = 36 + (-612)$

$-192y = -576$

$y = \frac{-576}{-192} = 3$

Подставим значение $y = 3$ во второе упрощенное уравнение ($3x + 11y = 36$):

$3x + 11(3) = 36$

$3x + 33 = 36$

$3x = 36 - 33$

$3x = 3$

$x = 1$

Решение системы: $x = 1$, $y = 3$.

Ответ: $(1; 3)$.

1271. Найдите решение системы уравнений:

1) $\begin{cases} (x - 3)^2 - 4y = (x + 2)(x + 1) - 6, \\ (x - 4)(y + 6) = (x + 3)(y - 7) + 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15, \\ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x - 3)^2 - 4y = (x + 2)(x + 1) - 6 \\ (x - 4)(y + 6) = (x + 3)(y - 7) + 3 \end{cases} $$

Для решения системы необходимо сначала упростить каждое уравнение.

Упростим первое уравнение: $(x - 3)^2 - 4y = (x + 2)(x + 1) - 6$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 6x + 9 - 4y = x^2 + x + 2x + 2 - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 6x + 9 - 4y = x^2 + 3x - 4$
Сократим $x^2$ в обеих частях:
$-6x + 9 - 4y = 3x - 4$
Соберем все слагаемые с переменными в одной части, а свободные члены — в другой:
$9 + 4 = 3x + 6x + 4y$
$13 = 9x + 4y$ или $9x + 4y = 13$.

Упростим второе уравнение: $(x - 4)(y + 6) = (x + 3)(y - 7) + 3$.
Раскроем скобки:
$xy + 6x - 4y - 24 = (xy - 7x + 3y - 21) + 3$
$xy + 6x - 4y - 24 = xy - 7x + 3y - 18$
Сократим $xy$ в обеих частях:
$6x - 4y - 24 = -7x + 3y - 18$
Соберем все слагаемые с переменными в одной части, а свободные члены — в другой:
$6x + 7x - 4y - 3y = 24 - 18$
$13x - 7y = 6$.

В результате мы получили систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} 9x + 4y = 13 \\ 13x - 7y = 6 \end{cases} $$ Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе — на 4, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 7 \cdot (9x + 4y) = 7 \cdot 13 \\ 4 \cdot (13x - 7y) = 4 \cdot 6 \end{cases} \implies \begin{cases} 63x + 28y = 91 \\ 52x - 28y = 24 \end{cases} $$ Теперь сложим эти два уравнения:
$(63x + 52x) + (28y - 28y) = 91 + 24$
$115x = 115$
$x = 1$.

Подставим найденное значение $x=1$ в первое упрощенное уравнение $9x + 4y = 13$:
$9(1) + 4y = 13$
$9 + 4y = 13$
$4y = 13 - 9$
$4y = 4$
$y = 1$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; 1)$.
Ответ: $(1; 1)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15 \\ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение системы.

Упростим первое уравнение: $(x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и раскроем скобки:
$(x^2 - y^2) - (x^2 + 10x) = 5y - y^2 + 15$
$x^2 - y^2 - x^2 - 10x = 5y - y^2 + 15$
Сократим $x^2$ и $-y^2$ в обеих частях:
$-10x = 5y + 15$
Разделим обе части уравнения на 5:
$-2x = y + 3$
$2x + y = -3$.

Упростим второе уравнение: $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18$.
Раскроем все скобки, используя формулу квадрата суммы и разности:
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 4y + 4) - 18$
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 8x + 4y + 20 - 18$
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 8x + 4y + 2$
Сократим $x^2$, $y^2$ и 2 в обеих частях:
$2x - 2y = 8x + 4y$
Перенесем все слагаемые в правую часть:
$0 = 8x - 2x + 4y + 2y$
$0 = 6x + 6y$
Разделим на 6:
$x + y = 0$.

В результате мы получили систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x + y = -3 \\ x + y = 0 \end{cases} $$ Решим ее методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$: $y = -x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x + (-x) = -3$
$x = -3$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = -x$:
$y = -(-3) = 3$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(-3; 3)$.
Ответ: $(-3; 3)$.

1272. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} (2x+1)^2 - (2x-y)(2x+y) = (y+8)(y-10), \\ 4x(x-5) - (2x-3)(2x-9) = 6y-104; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x-2)(x^2+2x+4) - x(x-4)(x+4) = 20-20y, \\ (3x-2)(4y+5) = 2y(6x-1)-58. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (2x + 1)^2 - (2x - y)(2x + y) = (y + 8)(y - 10), \\ 4x(x - 5) - (2x - 3)(2x - 9) = 6y - 104; \end{cases} $

Упростим первое уравнение. Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - y^2) = y^2 - 10y + 8y - 80$

$4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 + y^2 = y^2 - 2y - 80$

Приведем подобные слагаемые. Члены $4x^2$ и $y^2$ взаимно уничтожаются.

$4x + 1 = -2y - 80$

$4x + 2y = -81$

Теперь упростим второе уравнение, раскрыв скобки.

$(4x^2 - 20x) - (4x^2 - 18x - 6x + 27) = 6y - 104$

$4x^2 - 20x - (4x^2 - 24x + 27) = 6y - 104$

$4x^2 - 20x - 4x^2 + 24x - 27 = 6y - 104$

Приведем подобные слагаемые. Члены $4x^2$ взаимно уничтожаются.

$4x - 27 = 6y - 104$

$4x - 6y = 27 - 104$

$4x - 6y = -77$

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 4x + 2y = -81, \\ 4x - 6y = -77; \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Вычтем из первого уравнения второе:

$(4x + 2y) - (4x - 6y) = -81 - (-77)$

$4x + 2y - 4x + 6y = -81 + 77$

$8y = -4$

$y = -4 / 8 = -0.5$

Подставим найденное значение $y$ в первое упрощенное уравнение $4x + 2y = -81$:

$4x + 2(-0.5) = -81$

$4x - 1 = -81$

$4x = -80$

$x = -80 / 4 = -20$

Ответ: $(-20; -0.5)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x(x - 4)(x + 4) = 20 - 20y, \\ (3x - 2)(4y + 5) = 2y(6x - 1) - 58. \end{cases} $

Упростим первое уравнение. Используем формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(x^3 - 2^3) - x(x^2 - 4^2) = 20 - 20y$

$(x^3 - 8) - x(x^2 - 16) = 20 - 20y$

$x^3 - 8 - x^3 + 16x = 20 - 20y$

Приведем подобные слагаемые. Члены $x^3$ взаимно уничтожаются.

$16x - 8 = 20 - 20y$

$16x + 20y = 28$

Разделим обе части уравнения на 4:

$4x + 5y = 7$

Теперь упростим второе уравнение, раскрыв скобки.

$12xy + 15x - 8y - 10 = 12xy - 2y - 58$

Приведем подобные слагаемые. Члены $12xy$ взаимно уничтожаются.

$15x - 8y - 10 = -2y - 58$

$15x - 8y + 2y = -58 + 10$

$15x - 6y = -48$

Разделим обе части уравнения на 3:

$5x - 2y = -16$

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 4x + 5y = 7, \\ 5x - 2y = -16; \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными.

$ \begin{cases} 8x + 10y = 14, \\ 25x - 10y = -80; \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(8x + 10y) + (25x - 10y) = 14 + (-80)$

$33x = -66$

$x = -66 / 33 = -2$

Подставим найденное значение $x$ в первое упрощенное уравнение $4x + 5y = 7$:

$4(-2) + 5y = 7$

$-8 + 5y = 7$

$5y = 15$

$y = 15 / 5 = 3$

Ответ: $(-2; 3)$.

1273.Имеет ли решение система уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y = 5, \\ 3x - 4y = 24, \\ x - 2y = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 3x + 5y = 1, \\ 5x + 9y = 5? \end{cases}$

1)

Дана система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 2x + y = 5, \\ 3x - 4y = 24, \\ x - 2y = 9. \end{cases} $

Чтобы система имела решение, необходимо, чтобы существовала пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет всем трем уравнениям одновременно. Для проверки этого решим систему, состоящую из любых двух уравнений, и подставим найденное решение в третье уравнение.

Возьмем первое и третье уравнения, так как они выглядят наиболее простыми для решения:

$ \begin{cases} 2x + y = 5, \\ x - 2y = 9. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - 2x$

Подставим это выражение во второе уравнение ($x - 2y = 9$):

$x - 2(5 - 2x) = 9$

$x - 10 + 4x = 9$

$5x = 19$

$x = \frac{19}{5} = 3.8$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 5 - 2 \cdot \frac{19}{5} = \frac{25}{5} - \frac{38}{5} = -\frac{13}{5} = -2.6$

Таким образом, решением системы из первого и третьего уравнений является пара чисел $(x, y) = (3.8, -2.6)$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли эта пара второму уравнению исходной системы: $3x - 4y = 24$.

Подставим найденные значения $x$ и $y$:

$3 \cdot \frac{19}{5} - 4 \cdot (-\frac{13}{5}) = \frac{57}{5} + \frac{52}{5} = \frac{109}{5} = 21.8$

Полученное значение $21.8$ не равно $24$.

Так как решение, удовлетворяющее двум уравнениям системы, не удовлетворяет третьему, то система несовместна, то есть не имеет решений.

Ответ: нет, система не имеет решений.

2)

Дана система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 3x + 5y = 1, \\ 5x + 9y = 5. \end{cases} $

Поступим аналогично предыдущему пункту: решим систему из первых двух уравнений и проверим, удовлетворяет ли найденное решение третьему уравнению.

$ \begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 3x + 5y = 1. \end{cases} $

Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 3 \cdot (2x + 3y) = 3 \cdot (-1) \\ -2 \cdot (3x + 5y) = -2 \cdot 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 9y = -3, \\ -6x - 10y = -2. \end{cases} $

Теперь сложим эти два уравнения почленно:

$(6x + 9y) + (-6x - 10y) = -3 + (-2)$

$-y = -5$

$y = 5$

Подставим найденное значение $y=5$ в первое исходное уравнение ($2x + 3y = -1$):

$2x + 3 \cdot 5 = -1$

$2x + 15 = -1$

$2x = -16$

$x = -8$

Таким образом, решением системы из первых двух уравнений является пара чисел $(x, y) = (-8, 5)$.

Проверим, удовлетворяет ли эта пара третьему уравнению исходной системы: $5x + 9y = 5$.

Подставим найденные значения $x$ и $y$:

$5 \cdot (-8) + 9 \cdot 5 = -40 + 45 = 5$

Получили верное равенство: $5 = 5$.

Так как решение, удовлетворяющее первым двум уравнениям, удовлетворяет и третьему, то система совместна и имеет единственное решение.

Ответ: да, система имеет решение.

1274. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 6x + 5y = 10, \\ 8x - 5y = 32, \\ 3x + 10y = -7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y = 1, \\ 2x + y = 7, \\ 4x + y = 14. \end{cases}$

1) Чтобы решить данную систему из трех уравнений с двумя переменными, сначала найдем решение для подсистемы из первых двух уравнений. $$ \begin{cases} 6x + 5y = 10 \\ 8x - 5y = 32 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить переменную $y$: $$ (6x + 5y) + (8x - 5y) = 10 + 32 $$ $$ 14x = 42 $$ $$ x = \frac{42}{14} $$ $$ x = 3 $$ Теперь подставим значение $x=3$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$: $$ 6(3) + 5y = 10 $$ $$ 18 + 5y = 10 $$ $$ 5y = 10 - 18 $$ $$ 5y = -8 $$ $$ y = -\frac{8}{5} = -1,6 $$ Таким образом, решением первых двух уравнений является пара $(3; -1,6)$. Проверим, является ли эта пара решением третьего уравнения системы $3x + 10y = -7$: $$ 3(3) + 10(-1,6) = 9 - 16 = -7 $$ $$ -7 = -7 $$ Равенство верное, следовательно, найденная пара чисел является решением всей системы уравнений.
Ответ: $(3; -1,6)$.

2) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 2x + y = 7 \\ 4x + y = 14 \end{cases} $$ Решим подсистему из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем второе уравнение из третьего: $$ (4x + y) - (2x + y) = 14 - 7 $$ $$ 2x = 7 $$ $$ x = \frac{7}{2} = 3,5 $$ Подставим найденное значение $x=3,5$ во второе уравнение, чтобы найти $y$: $$ 2(3,5) + y = 7 $$ $$ 7 + y = 7 $$ $$ y = 0 $$ Таким образом, решением второй и третьей уравнений является пара $(3,5; 0)$. Теперь проверим, удовлетворяет ли эта пара первому уравнению системы $x - 2y = 1$: $$ 3,5 - 2(0) = 1 $$ $$ 3,5 = 1 $$ Полученное равенство неверно. Это означает, что система несовместна, то есть не существует такой пары $(x,y)$, которая удовлетворяла бы всем трем уравнениям одновременно.
Ответ: решений нет.

1275. Запишите систему линейных уравнений с двумя переменными, графики которых изображены на рисунке 87.

Рис. 87

а

$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 0 \end{cases}$

б

$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ x - 2y = 2 \end{cases}$

в

$\begin{cases} 3x + y = 3 \\ x - 2y = -2 \end{cases}$

г

$\begin{cases} x + 2y = 6 \\ x - y = -1 \end{cases}$