Номер 1270, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1270, страница 244.

Условие.

1270. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 0,2x - 0,3(2y + 1) = 1,5, \\ 3(x + 1) + 3y = 2y - 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{15x - 3y}{4} + \frac{3x + 2y}{6} = 3, \\ \frac{3x + y}{3} - \frac{x - 3y}{2} = 6. \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 0,2x - 0,3(2y + 1) = 1,5 \\ 3(x + 1) + 3y = 2y - 2 \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:

$0,2x - 0,3(2y + 1) = 1,5$

Раскроем скобки:

$0,2x - 0,6y - 0,3 = 1,5$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$0,2x - 0,6y = 1,5 + 0,3$

$0,2x - 0,6y = 1,8$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (0,2x - 0,6y) = 10 \cdot 1,8$

$2x - 6y = 18$

Для удобства разделим обе части на 2:

$x - 3y = 9$

Второе уравнение:

$3(x + 1) + 3y = 2y - 2$

Раскроем скобки:

$3x + 3 + 3y = 2y - 2$

Перенесем переменные в левую часть, а числа — в правую:

$3x + 3y - 2y = -2 - 3$

$3x + y = -5$

Теперь мы имеем упрощенную систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - 3y = 9 \\ 3x + y = -5 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 9 + 3y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$3(9 + 3y) + y = -5$

$27 + 9y + y = -5$

$27 + 10y = -5$

$10y = -5 - 27$

$10y = -32$

$y = -3,2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 9 + 3(-3,2) = 9 - 9,6 = -0,6$

Решение системы: $x = -0,6$, $y = -3,2$.

Ответ: $(-0,6; -3,2)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{15x - 3y}{4} + \frac{3x + 2y}{6} = 3 \\ \frac{3x + y}{3} - \frac{x - 3y}{2} = 6 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, избавившись от дробей.

Первое уравнение:

$\frac{15x - 3y}{4} + \frac{3x + 2y}{6} = 3$

Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 — это 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{15x - 3y}{4} + 12 \cdot \frac{3x + 2y}{6} = 12 \cdot 3$

$3(15x - 3y) + 2(3x + 2y) = 36$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$45x - 9y + 6x + 4y = 36$

$51x - 5y = 36$

Второе уравнение:

$\frac{3x + y}{3} - \frac{x - 3y}{2} = 6$

Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 — это 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{3x + y}{3} - 6 \cdot \frac{x - 3y}{2} = 6 \cdot 6$

$2(3x + y) - 3(x - 3y) = 36$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6x + 2y - 3x + 9y = 36$

$3x + 11y = 36$

Теперь мы имеем упрощенную систему:

$ \begin{cases} 51x - 5y = 36 \\ 3x + 11y = 36 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными, умножим второе уравнение на -17:

$-17(3x + 11y) = -17 \cdot 36$

$-51x - 187y = -612$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(51x - 5y) + (-51x - 187y) = 36 + (-612)$

$-192y = -576$

$y = \frac{-576}{-192} = 3$

Подставим значение $y = 3$ во второе упрощенное уравнение ($3x + 11y = 36$):

$3x + 11(3) = 36$

$3x + 33 = 36$

$3x = 36 - 33$

$3x = 3$

$x = 1$

Решение системы: $x = 1$, $y = 3$.

Ответ: $(1; 3)$.