Номер 1264, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1264, страница 243.

Условие.

1264. Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых:

1) $2x - 3y = 8$ и $7x - 5y = -5$;

2) $9x + y = 3$ и $8x + 3y = -10$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, не выполняя построения, нужно решить систему уравнений, задающих эти прямые. Координаты $(x; y)$ точки пересечения будут являться решением этой системы.

1) $2x - 3y = 8$ и $7x - 5y = -5$

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 8 \\ 7x - 5y = -5 \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на 5, а второго на -3, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

$$ \begin{cases} (2x - 3y) \cdot 5 = 8 \cdot 5 \\ (7x - 5y) \cdot (-3) = -5 \cdot (-3) \end{cases} $$

Получим эквивалентную систему:

$$ \begin{cases} 10x - 15y = 40 \\ -21x + 15y = 15 \end{cases} $$

Теперь сложим два уравнения системы почленно:

$(10x - 15y) + (-21x + 15y) = 40 + 15$

$10x - 21x = 55$

$-11x = 55$

$x = \frac{55}{-11}$

$x = -5$

Подставим найденное значение $x = -5$ в первое исходное уравнение, чтобы найти значение y:

$2(-5) - 3y = 8$

$-10 - 3y = 8$

$-3y = 8 + 10$

$-3y = 18$

$y = \frac{18}{-3}$

$y = -6$

Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты $(-5; -6)$.

Ответ: $(-5; -6)$

2) $9x + y = 3$ и $8x + 3y = -10$

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 9x + y = 3 \\ 8x + 3y = -10 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную y из первого уравнения:

$y = 3 - 9x$

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$8x + 3(3 - 9x) = -10$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$8x + 9 - 27x = -10$

$-19x + 9 = -10$

$-19x = -10 - 9$

$-19x = -19$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение y, подставив $x = 1$ в выражение для y:

$y = 3 - 9(1)$

$y = 3 - 9$

$y = -6$

Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты $(1; -6)$.

Ответ: $(1; -6)$