Номер 1263, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1263, страница 243.

Условие.

1263. Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых:

1) $y = 2 - 3x$ и $2x + 3y = 7;$

2) $5x + 6y = -20$ и $2x + 9y = 25.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, задающих эти прямые. В точке пересечения координаты $x$ и $y$ удовлетворяют обоим уравнениям.

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = 2 - 3x \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $$

Так как в первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$, удобно использовать метод подстановки. Подставим выражение $2 - 3x$ вместо $y$ во второе уравнение:

$2x + 3(2 - 3x) = 7$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x + 6 - 9x = 7$

Приведем подобные слагаемые:

$-7x + 6 = 7$

Перенесем 6 в правую часть уравнения:

$-7x = 7 - 6$

$-7x = 1$

Найдем $x$:

$x = -\frac{1}{7}$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -\frac{1}{7}$ в первое уравнение системы $y = 2 - 3x$:

$y = 2 - 3 \cdot (-\frac{1}{7})$

$y = 2 + \frac{3}{7}$

Приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{14}{7} + \frac{3}{7}$

$y = \frac{17}{7}$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых равны $(-\frac{1}{7}; \frac{17}{7})$.

Ответ: $(-\frac{1}{7}; \frac{17}{7})$.

2)

Аналогично первому пункту, найдем координаты точки пересечения, решив систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 6y = -20 \\ 2x + 9y = 25 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на $-2$, а второе на $5$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами ($-10$ и $10$):

$$ \begin{cases} -2(5x + 6y) = -2(-20) \\ 5(2x + 9y) = 5(25) \end{cases} $$

После умножения система примет вид:

$$ \begin{cases} -10x - 12y = 40 \\ 10x + 45y = 125 \end{cases} $$

Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:

$(-10x - 12y) + (10x + 45y) = 40 + 125$

Приведем подобные слагаемые:

$-10x + 10x - 12y + 45y = 165$

$33y = 165$

Найдем $y$:

$y = \frac{165}{33}$

$y = 5$

Подставим найденное значение $y=5$ в любое из исходных уравнений. Например, подставим во второе уравнение $2x + 9y = 25$:

$2x + 9 \cdot 5 = 25$

$2x + 45 = 25$

$2x = 25 - 45$

$2x = -20$

$x = -10$

Следовательно, координаты точки пересечения прямых равны $(-10; 5)$.

Ответ: $(-10; 5)$.