Номер 1259, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1259, страница 242.

Условие.

1259. Решите систему уравнений методом сложения:

1) $ \begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 8 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x + y = 14 \\ 5x - y = 10 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 2x - 9y = 11 \\ 7x + 9y = 25 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} -6x + y = 16 \\ 6x + 4y = 34 \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 8x + y = 8 \\ 12x + y = 4 \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 7x - 5y = 29 \\ 7x + 8y = -10 \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ x - y = 8; \end{cases} $

Сложим почленно первое и второе уравнения системы, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($1$ и $-1$).

$(x + y) + (x - y) = 6 + 8$

$2x = 14$

$x = \frac{14}{2}$

$x = 7$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$7 + y = 6$

$y = 6 - 7$

$y = -1$

Проверим решение, подставив значения $x$ и $y$ во второе уравнение:

$7 - (-1) = 8$

$7 + 1 = 8$

$8 = 8$

Решение верное.

Ответ: $(7; -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 14, \\ 5x - y = 10; \end{cases} $

Сложим почленно уравнения, так как коэффициенты при $y$ противоположны ($1$ и $-1$).

$(3x + y) + (5x - y) = 14 + 10$

$8x = 24$

$x = \frac{24}{8}$

$x = 3$

Подставим значение $x = 3$ в первое уравнение:

$3(3) + y = 14$

$9 + y = 14$

$y = 14 - 9$

$y = 5$

Проверим решение, подставив значения во второе уравнение:

$5(3) - 5 = 10$

$15 - 5 = 10$

$10 = 10$

Решение верное.

Ответ: $(3; 5)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 9y = 11, \\ 7x + 9y = 25; \end{cases} $

Сложим почленно уравнения, так как коэффициенты при $y$ противоположны ($-9$ и $9$).

$(2x - 9y) + (7x + 9y) = 11 + 25$

$9x = 36$

$x = \frac{36}{9}$

$x = 4$

Подставим значение $x = 4$ во второе уравнение:

$7(4) + 9y = 25$

$28 + 9y = 25$

$9y = 25 - 28$

$9y = -3$

$y = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$

Проверим решение, подставив значения в первое уравнение:

$2(4) - 9(-\frac{1}{3}) = 11$

$8 + 3 = 11$

$11 = 11$

Решение верное.

Ответ: $(4; -1/3)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} -6x + y = 16, \\ 6x + 4y = 34; \end{cases} $

Сложим почленно уравнения, так как коэффициенты при $x$ противоположны ($-6$ и $6$).

$(-6x + y) + (6x + 4y) = 16 + 34$

$5y = 50$

$y = \frac{50}{5}$

$y = 10$

Подставим значение $y = 10$ в первое уравнение:

$-6x + 10 = 16$

$-6x = 16 - 10$

$-6x = 6$

$x = \frac{6}{-6}$

$x = -1$

Проверим решение, подставив значения во второе уравнение:

$6(-1) + 4(10) = 34$

$-6 + 40 = 34$

$34 = 34$

Решение верное.

Ответ: $(-1; 10)$.

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 8x + y = 8, \\ 12x + y = 4; \end{cases} $

Коэффициенты при $y$ одинаковы. Чтобы их сделать противоположными, умножим первое уравнение на $-1$:

$-1 \cdot (8x + y) = -1 \cdot 8 \implies -8x - y = -8$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-8x - y) + (12x + y) = -8 + 4$

$4x = -4$

$x = -1$

Подставим значение $x = -1$ в первое исходное уравнение:

$8(-1) + y = 8$

$-8 + y = 8$

$y = 8 + 8$

$y = 16$

Проверим решение, подставив значения во второе исходное уравнение:

$12(-1) + 16 = 4$

$-12 + 16 = 4$

$4 = 4$

Решение верное.

Ответ: $(-1; 16)$.

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 5y = 29, \\ 7x + 8y = -10; \end{cases} $

Коэффициенты при $x$ одинаковы. Вычтем из второго уравнения первое, что равносильно умножению первого уравнения на $-1$ и сложению со вторым.

$(7x + 8y) - (7x - 5y) = -10 - 29$

$7x + 8y - 7x + 5y = -39$

$13y = -39$

$y = \frac{-39}{13}$

$y = -3$

Подставим значение $y = -3$ в первое уравнение:

$7x - 5(-3) = 29$

$7x + 15 = 29$

$7x = 29 - 15$

$7x = 14$

$x = \frac{14}{7}$

$x = 2$

Проверим решение, подставив значения во второе уравнение:

$7(2) + 8(-3) = -10$

$14 - 24 = -10$

$-10 = -10$

Решение верное.

Ответ: $(2; -3)$.