Номер 1261, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1261, страница 243.

Условие.

1261. Решите систему уравнений методом сложения:

1) $\begin{cases} x - 3y = 5 \\ 4x + 9y = 41 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 10x + 2y = 12 \\ -5x + 4y = -6 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 12x + 7y = -26 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x + 8y = 13 \\ 2x - 3y = 17 \end{cases}$

5) $\begin{cases} 3x - 4y = 16 \\ 5x + 6y = 14 \end{cases}$

6) $\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 3x + 5y = 8 \end{cases}$

7) $\begin{cases} 5u - 7v = 24 \\ 7u + 6v = 2 \end{cases}$

8) $\begin{cases} 0,2x + 1,5y = 10 \\ 0,4x - 0,3y = 0,2 \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 3y = 5 \\ 4x + 9y = 41 \end{cases} $
Чтобы использовать метод сложения, нужно сделать коэффициенты при одной из переменных противоположными. Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали $-9$ и $9$.
$3(x - 3y) = 3 \cdot 5$
$3x - 9y = 15$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 3x - 9y = 15 \\ 4x + 9y = 41 \end{cases} $
Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x - 9y) + (4x + 9y) = 15 + 41$
$7x = 56$
$x = \frac{56}{7} = 8$
Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$8 - 3y = 5$
$-3y = 5 - 8$
$-3y = -3$
$y = 1$
Ответ: $(8; 1)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 10x + 2y = 12 \\ -5x + 4y = -6 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными ($10$ и $-10$).
$2(-5x + 4y) = 2 \cdot (-6)$
$-10x + 8y = -12$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 10x + 2y = 12 \\ -10x + 8y = -12 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(10x + 2y) + (-10x + 8y) = 12 + (-12)$
$10y = 0$
$y = 0$
Подставим $y = 0$ в первое исходное уравнение:
$10x + 2 \cdot 0 = 12$
$10x = 12$
$x = \frac{12}{10} = 1,2$
Ответ: $(1,2; 0)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 12x + 7y = -26 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на -4, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными ($-12$ и $12$).
$-4(3x - 2y) = -4 \cdot 1$
$-12x + 8y = -4$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} -12x + 8y = -4 \\ 12x + 7y = -26 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(-12x + 8y) + (12x + 7y) = -4 + (-26)$
$15y = -30$
$y = \frac{-30}{15} = -2$
Подставим $y = -2$ в первое исходное уравнение:
$3x - 2(-2) = 1$
$3x + 4 = 1$
$3x = 1 - 4$
$3x = -3$
$x = -1$
Ответ: $(-1; -2)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 8y = 13 \\ 2x - 3y = 17 \end{cases} $
Чтобы уравнять коэффициенты при $x$, умножим первое уравнение на 2, а второе на -3.
$2(3x + 8y) = 2 \cdot 13 \implies 6x + 16y = 26$
$-3(2x - 3y) = -3 \cdot 17 \implies -6x + 9y = -51$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 6x + 16y = 26 \\ -6x + 9y = -51 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x + 16y) + (-6x + 9y) = 26 + (-51)$
$25y = -25$
$y = -1$
Подставим $y = -1$ в первое исходное уравнение:
$3x + 8(-1) = 13$
$3x - 8 = 13$
$3x = 21$
$x = 7$
Ответ: $(7; -1)$.

5) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 4y = 16 \\ 5x + 6y = 14 \end{cases} $
Чтобы уравнять коэффициенты при $y$, умножим первое уравнение на 3, а второе на 2.
$3(3x - 4y) = 3 \cdot 16 \implies 9x - 12y = 48$
$2(5x + 6y) = 2 \cdot 14 \implies 10x + 12y = 28$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 9x - 12y = 48 \\ 10x + 12y = 28 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(9x - 12y) + (10x + 12y) = 48 + 28$
$19x = 76$
$x = \frac{76}{19} = 4$
Подставим $x = 4$ во второе исходное уравнение:
$5(4) + 6y = 14$
$20 + 6y = 14$
$6y = 14 - 20$
$6y = -6$
$y = -1$
Ответ: $(4; -1)$.

6) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 3x + 5y = 8 \end{cases} $
Чтобы уравнять коэффициенты при $x$, умножим первое уравнение на 3, а второе на -2.
$3(2x + 3y) = 3 \cdot 6 \implies 6x + 9y = 18$
$-2(3x + 5y) = -2 \cdot 8 \implies -6x - 10y = -16$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 6x + 9y = 18 \\ -6x - 10y = -16 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x + 9y) + (-6x - 10y) = 18 - 16$
$-y = 2$
$y = -2$
Подставим $y = -2$ в первое исходное уравнение:
$2x + 3(-2) = 6$
$2x - 6 = 6$
$2x = 12$
$x = 6$
Ответ: $(6; -2)$.

7) Дана система уравнений с переменными $u$ и $v$: $ \begin{cases} 5u - 7v = 24 \\ 7u + 6v = 2 \end{cases} $
Чтобы уравнять коэффициенты при $v$, умножим первое уравнение на 6, а второе на 7.
$6(5u - 7v) = 6 \cdot 24 \implies 30u - 42v = 144$
$7(7u + 6v) = 7 \cdot 2 \implies 49u + 42v = 14$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 30u - 42v = 144 \\ 49u + 42v = 14 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(30u - 42v) + (49u + 42v) = 144 + 14$
$79u = 158$
$u = \frac{158}{79} = 2$
Подставим $u = 2$ во второе исходное уравнение:
$7(2) + 6v = 2$
$14 + 6v = 2$
$6v = 2 - 14$
$6v = -12$
$v = -2$
Ответ: $(2; -2)$.

8) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 0,2x + 1,5y = 10 \\ 0,4x - 0,3y = 0,2 \end{cases} $
Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножив оба уравнения на 10:
$10(0,2x + 1,5y) = 10 \cdot 10 \implies 2x + 15y = 100$
$10(0,4x - 0,3y) = 10 \cdot 0,2 \implies 4x - 3y = 2$
Получили систему: $ \begin{cases} 2x + 15y = 100 \\ 4x - 3y = 2 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($15$ и $-15$).
$5(4x - 3y) = 5 \cdot 2 \implies 20x - 15y = 10$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 2x + 15y = 100 \\ 20x - 15y = 10 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(2x + 15y) + (20x - 15y) = 100 + 10$
$22x = 110$
$x = \frac{110}{22} = 5$
Подставим $x = 5$ в уравнение $4x - 3y = 2$:
$4(5) - 3y = 2$
$20 - 3y = 2$
$-3y = 2 - 20$
$-3y = -18$
$y = 6$
Ответ: $(5; 6)$.