Номер 1267, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1267, страница 243.

Условие.

через точки $C (2, -1)$ и $D (0, 3):

1267.Запишите уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через точки:

1) $M (2; 1)$ и $K (-3; 2);

2) $P (-4; 5)$ и $Q (4; -3).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы найти уравнение прямой $y = kx + b$, которая проходит через заданные точки $M(2; 1)$ и $K(-3; 2)$, нужно подставить координаты этих точек в уравнение. Это позволит нам составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $k$ и $b$.

Подставляем координаты точки $M(2; 1)$ (где $x=2$, $y=1$):

$1 = k \cdot 2 + b$

$1 = 2k + b$

Подставляем координаты точки $K(-3; 2)$ (где $x=-3$, $y=2$):

$2 = k \cdot (-3) + b$

$2 = -3k + b$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} 1 = 2k + b \\ 2 = -3k + b \end{cases}$

Для решения системы можно выразить $b$ из первого уравнения: $b = 1 - 2k$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2 = -3k + (1 - 2k)$

$2 = -3k + 1 - 2k$

$2 - 1 = -5k$

$1 = -5k$

$k = -\frac{1}{5}$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в выражение $b = 1 - 2k$:

$b = 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{5})$

$b = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$

Таким образом, мы нашли коэффициенты $k = -\frac{1}{5}$ и $b = \frac{7}{5}$. Искомое уравнение прямой имеет вид:

$y = -\frac{1}{5}x + \frac{7}{5}$

Ответ: $y = -\frac{1}{5}x + \frac{7}{5}$

---

2) Аналогично найдем уравнение прямой, проходящей через точки $P(-4; 5)$ и $Q(4; -3)$.

Подставляем координаты точки $P(-4; 5)$ в уравнение $y = kx + b$:

$5 = k \cdot (-4) + b$

$5 = -4k + b$

Подставляем координаты точки $Q(4; -3)$:

$-3 = k \cdot 4 + b$

$-3 = 4k + b$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 5 = -4k + b \\ -3 = 4k + b \end{cases}$

Для решения этой системы удобно сложить два уравнения. При этом слагаемые с $k$ взаимно уничтожатся:

$(5 + (-3)) = (-4k + 4k) + (b + b)$

$2 = 0 + 2b$

$2 = 2b$

$b = 1$

Теперь подставим найденное значение $b=1$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$-3 = 4k + 1$

$-3 - 1 = 4k$

$-4 = 4k$

$k = -1$

Мы нашли коэффициенты $k = -1$ и $b = 1$. Искомое уравнение прямой имеет вид:

$y = -1 \cdot x + 1$ или $y = -x + 1$

Ответ: $y = -x + 1$