Номер 1370, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1370, страница 261.

Условие.

1370. Докажите тождество:

1) $-0.2x^3(2.5x - 4)(6 - x^2) = 0.5x^6 - 0.8x^5 - 3x^4 + 4.8x^3;$

2) $(a-2)(a^2+3a-18) = (a-3)(a^2+4a-12).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для доказательства тождества $-0,2x^3(2,5x - 4)(6 - x^2) = 0,5x^6 - 0,8x^5 - 3x^4 + 4,8x^3$ необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части.
Выполним преобразование левой части по шагам. Сначала перемножим выражения в скобках:
$(2,5x - 4)(6 - x^2) = 2,5x \cdot 6 + 2,5x \cdot (-x^2) - 4 \cdot 6 - 4 \cdot (-x^2) = 15x - 2,5x^3 - 24 + 4x^2$.
Расположим члены полученного многочлена в порядке убывания степеней переменной $x$:
$-2,5x^3 + 4x^2 + 15x - 24$.
Теперь умножим этот многочлен на одночлен $-0,2x^3$:
$-0,2x^3(-2,5x^3 + 4x^2 + 15x - 24) = (-0,2x^3)(-2,5x^3) + (-0,2x^3)(4x^2) + (-0,2x^3)(15x) + (-0,2x^3)(-24)$.
Вычислим каждое слагаемое:
$(-0,2)(-2,5)x^{3+3} = 0,5x^6$
$(-0,2)(4)x^{3+2} = -0,8x^5$
$(-0,2)(15)x^{3+1} = -3x^4$
$(-0,2)(-24)x^3 = 4,8x^3$
Собрав все вместе, получаем выражение для левой части:
$0,5x^6 - 0,8x^5 - 3x^4 + 4,8x^3$.
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(a - 2)(a^2 + 3a - 18) = (a - 3)(a^2 + 4a - 12)$ преобразуем обе его части, раскрыв скобки, и сравним полученные выражения.
Преобразуем левую часть (ЛЧ):
$ЛЧ = (a - 2)(a^2 + 3a - 18) = a(a^2 + 3a - 18) - 2(a^2 + 3a - 18) = a^3 + 3a^2 - 18a - 2a^2 - 6a + 36$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (3a^2 - 2a^2) + (-18a - 6a) + 36 = a^3 + a^2 - 24a + 36$.
Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):
$ПЧ = (a - 3)(a^2 + 4a - 12) = a(a^2 + 4a - 12) - 3(a^2 + 4a - 12) = a^3 + 4a^2 - 12a - 3a^2 - 12a + 36$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (4a^2 - 3a^2) + (-12a - 12a) + 36 = a^3 + a^2 - 24a + 36$.
В результате преобразований мы получили, что и левая, и правая части равны одному и тому же выражению: $a^3 + a^2 - 24a + 36$.
Так как $ЛЧ = ПЧ$, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.