Номер 1372, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1372, страница 261.

Условие.

1372. Какое число нужно подставить вместо $b$, чтобы равенство $(3x + b)(x + 3) = 3x^2 + 5x + 3b$ было тождеством?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы данное равенство было тождеством, выражения в левой и правой частях должны быть равны для любого значения переменной $x$. Для этого необходимо, чтобы многочлен в левой части был равен многочлену в правой.

Рассмотрим исходное равенство:
$(3x + b)(x + 3) = 3x^2 + 5x + 3b$

Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(3x + b)(x + 3) = 3x \cdot x + 3x \cdot 3 + b \cdot x + b \cdot 3 = 3x^2 + 9x + bx + 3b$

Приведем подобные слагаемые в левой части, сгруппировав члены с $x$:
$3x^2 + (9x + bx) + 3b = 3x^2 + (9 + b)x + 3b$

Теперь наше тождество выглядит так:
$3x^2 + (9 + b)x + 3b = 3x^2 + 5x + 3b$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравним коэффициенты:

• При $x^2$: $3 = 3$. Равенство выполняется.
• При $x$: $9 + b = 5$.
• Свободные члены (коэффициенты при $x^0$): $3b = 3b$. Равенство выполняется.

Из сравнения коэффициентов при $x$ получаем уравнение для нахождения $b$:
$9 + b = 5$

Решим это уравнение:
$b = 5 - 9$
$b = -4$

Следовательно, при $b = -4$ исходное равенство становится тождеством.
Ответ: -4