Номер 1375, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1375, страница 261.

Условие.

1375. Докажите, что значение выражения:

1) $17^3 + 17^2 - 17$ кратно 61;

2) $25^4 - 125^2$ кратно 40;

3) $5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}$ кратно 60.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $17^3 + 17^2 - 17$ кратно 61, преобразуем его, вынеся общий множитель 17 за скобки:
$17^3 + 17^2 - 17 = 17 \cdot (17^2 + 17 - 1)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$17^2 + 17 - 1 = 289 + 17 - 1 = 305$
Таким образом, исходное выражение равно $17 \cdot 305$.
Проверим делимость числа 305 на 61: $305 \div 61 = 5$.
Следовательно, мы можем представить выражение в виде:
$17 \cdot 305 = 17 \cdot (5 \cdot 61) = 85 \cdot 61$
Поскольку выражение является произведением, где один из множителей равен 61, оно кратно 61.
Ответ: так как выражение $17^3 + 17^2 - 17$ можно представить в виде произведения $85 \cdot 61$, оно кратно 61.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $25^4 - 125^2$ кратно 40, приведем степени к общему основанию 5:
$25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Подставим в выражение:
$25^4 - 125^2 = (5^2)^4 - (5^3)^2 = 5^8 - 5^6$
Вынесем за скобки общий множитель $5^6$:
$5^6 \cdot (5^2 - 1) = 5^6 \cdot (25 - 1) = 5^6 \cdot 24$
Чтобы доказать кратность 40, разложим 40 на множители: $40 = 5 \cdot 8$.
Теперь преобразуем полученное выражение:
$5^6 \cdot 24 = 5^5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 8 = (5 \cdot 8) \cdot (5^5 \cdot 3) = 40 \cdot 3 \cdot 5^5$
Поскольку выражение является произведением, где один из множителей равен 40, оно кратно 40.
Ответ: так как выражение $25^4 - 125^2$ можно представить в виде произведения $40 \cdot 3 \cdot 5^5$, оно кратно 40.

3) Чтобы доказать, что значение выражения $5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}$ кратно 60, вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $2^{960}$:
$5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960} = 2^{960} \cdot (5 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2^1 + 1)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$5 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 1 = 20 - 6 + 1 = 15$
Таким образом, исходное выражение равно $2^{960} \cdot 15$.
Чтобы доказать кратность 60, разложим 60 на множители: $60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 15$.
Преобразуем полученное выражение, выделив множитель $2^2$:
$2^{960} \cdot 15 = 2^{958} \cdot 2^2 \cdot 15 = 2^{958} \cdot (4 \cdot 15) = 2^{958} \cdot 60$
Поскольку выражение является произведением, где один из множителей равен 60, оно кратно 60.
Ответ: так как выражение $5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}$ можно представить в виде произведения $2^{958} \cdot 60$, оно кратно 60.