Номер 1381, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1381, страница 262.

Условие.

1381. При каких значениях a, b, c и d выполняется равенство $\overline{ab} \cdot \overline{cd} = \overline{ad} \cdot \overline{cb}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

В данной задаче обозначение $\overline{xy}$ соответствует двузначному числу, значение которого равно $10x + y$. Переменные $a, b, c, d$ являются цифрами. Поскольку $a$ и $c$ стоят на месте десятков, они не могут быть равны нулю. Таким образом, $a, c$ могут принимать значения от 1 до 9, а $b, d$ — от 0 до 9.

Перепишем исходное равенство $\overline{ab} \cdot \overline{cd} = \overline{ad} \cdot \overline{cb}$ в алгебраической форме, представив каждое число в виде суммы разрядных слагаемых:

$(10a + b)(10c + d) = (10a + d)(10c + b)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$100ac + 10ad + 10bc + bd = 100ac + 10ab + 10cd + bd$

Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые $100ac$ и $bd$:

$10ad + 10bc = 10ab + 10cd$

Разделим обе части уравнения на 10:

$ad + bc = ab + cd$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их для дальнейшего упрощения:

$ad - ab - cd + bc = 0$

Теперь выполним факторизацию, вынося общие множители за скобки:

$a(d - b) - c(d - b) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $(d - b)$:

$(a - c)(d - b) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это приводит к двум возможным условиям:

1. $a - c = 0$, то есть $a = c$.
2. $d - b = 0$, то есть $d = b$.

Таким образом, исходное равенство будет верным, если выполняется хотя бы одно из этих условий: либо первые цифры чисел ($\overline{ab}$ и $\overline{cd}$) совпадают, либо вторые цифры ($\overline{ab}$ и $\overline{cd}$) совпадают.

Ответ: Равенство выполняется при условии, что либо $a = c$, либо $b = d$ (или оба условия одновременно), с учётом того, что $a$ и $c$ — это цифры от 1 до 9, а $b$ и $d$ — это цифры от 0 до 9.