Номер 1377, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1377, страница 261.

Условие.

1377. При каком значении $a$ уравнение $(x+2)(x-4)-(x-2)(x+4)=ax$ имеет бесконечно много корней?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы линейное уравнение имело бесконечно много корней, оно должно быть тождеством, то есть после всех преобразований принять вид $0 \cdot x = 0$. Это означает, что коэффициенты при переменной $x$ в левой и правой частях должны быть равны, а свободные члены (если они есть) также должны быть равны.

Рассмотрим данное уравнение: $(x + 2)(x - 4) - (x - 2)(x + 4) = ax$

Упростим левую часть уравнения, раскрыв скобки. Используем правило умножения многочленов (или формулу разности квадратов, заметив, что $(x+a)(x-b)$ и $(x-a)(x+b)$ не являются стандартными формулами, поэтому лучше раскрывать "в лоб").

Раскрываем первую пару скобок: $(x + 2)(x - 4) = x \cdot x - 4 \cdot x + 2 \cdot x - 2 \cdot 4 = x^2 - 2x - 8$

Раскрываем вторую пару скобок: $(x - 2)(x + 4) = x \cdot x + 4 \cdot x - 2 \cdot x - 2 \cdot 4 = x^2 + 2x - 8$

Теперь подставим полученные выражения обратно в уравнение: $(x^2 - 2x - 8) - (x^2 + 2x - 8) = ax$

Раскроем скобки в левой части, учитывая знак минус перед второй скобкой: $x^2 - 2x - 8 - x^2 - 2x + 8 = ax$

Приведем подобные слагаемые в левой части: $(x^2 - x^2) + (-2x - 2x) + (-8 + 8) = ax$ $0 - 4x + 0 = ax$ $-4x = ax$

Это равенство должно выполняться для любого значения $x$. Такое возможно только тогда, когда коэффициенты при $x$ в левой и правой частях равны. Сравнивая коэффициенты, получаем: $a = -4$

При $a = -4$ уравнение принимает вид $-4x = -4x$, что является верным равенством (тождеством) для любого значения $x$. Следовательно, при $a = -4$ уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: при $a = -4$.