Номер 1382, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1382, страница 262.

Условие.

1382. Упростите выражение:

1) $6x^2 + (2y - 3x)(2y + 3x);$

2) $(a + 2)(a - 3) - (4 - a)(a + 4);$

3) $(5 - 2x)(5 + 2x) - (3 - 2x)(4 - 2x);$

4) $(2ab + 1)(2ab - 1)(16a^4b^4 + 1)(4a^2b^2 + 1).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для упрощения выражения $6x^2 + (2y - 3x)(2y + 3x)$ воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = 2y$ и $b = 3x$.

$(2y - 3x)(2y + 3x) = (2y)^2 - (3x)^2 = 4y^2 - 9x^2$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$6x^2 + (4y^2 - 9x^2) = 6x^2 + 4y^2 - 9x^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$4y^2 + (6x^2 - 9x^2) = 4y^2 - 3x^2$.

Ответ: $4y^2 - 3x^2$.

2) Упростим выражение $(a + 2)(a - 3) - (4 - a)(a + 4)$.

Сначала раскроем скобки в первой части выражения, перемножив многочлены:

$(a + 2)(a - 3) = a \cdot a + a \cdot (-3) + 2 \cdot a + 2 \cdot (-3) = a^2 - 3a + 2a - 6 = a^2 - a - 6$.

Теперь раскроем скобки во второй части. Заметим, что $(4 - a)(a + 4)$ можно записать как $(4 - a)(4 + a)$, что является формулой разности квадратов:

$(4 - a)(4 + a) = 4^2 - a^2 = 16 - a^2$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(a^2 - a - 6) - (16 - a^2) = a^2 - a - 6 - 16 + a^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2) - a - (6 + 16) = 2a^2 - a - 22$.

Ответ: $2a^2 - a - 22$.

3) Упростим выражение $(5 - 2x)(5 + 2x) - (3 - 2x)(4 - 2x)$.

Первая часть $(5 - 2x)(5 + 2x)$ является разностью квадратов:

$(5 - 2x)(5 + 2x) = 5^2 - (2x)^2 = 25 - 4x^2$.

Раскроем скобки во второй части выражения, перемножив многочлены:

$(3 - 2x)(4 - 2x) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-2x) - 2x \cdot 4 - 2x \cdot (-2x) = 12 - 6x - 8x + 4x^2 = 12 - 14x + 4x^2$.

Теперь подставим все в исходное выражение:

$(25 - 4x^2) - (12 - 14x + 4x^2) = 25 - 4x^2 - 12 + 14x - 4x^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(-4x^2 - 4x^2) + 14x + (25 - 12) = -8x^2 + 14x + 13$.

Ответ: $-8x^2 + 14x + 13$.

4) Упростим выражение $(2ab + 1)(2ab - 1)(16a^4b^4 + 1)(4a^2b^2 + 1)$.

Для удобства сгруппируем множители так, чтобы последовательно применять формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Исходное выражение: $((2ab - 1)(2ab + 1))(4a^2b^2 + 1)(16a^4b^4 + 1)$.

Применим формулу к первой паре скобок:

$(2ab - 1)(2ab + 1) = (2ab)^2 - 1^2 = 4a^2b^2 - 1$.

Выражение принимает вид:

$(4a^2b^2 - 1)(4a^2b^2 + 1)(16a^4b^4 + 1)$.

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(4a^2b^2 - 1)(4a^2b^2 + 1) = (4a^2b^2)^2 - 1^2 = 16a^4b^4 - 1$.

Выражение принимает вид:

$(16a^4b^4 - 1)(16a^4b^4 + 1)$.

И в последний раз применяем формулу разности квадратов:

$(16a^4b^4 - 1)(16a^4b^4 + 1) = (16a^4b^4)^2 - 1^2 = 256a^8b^8 - 1$.

Ответ: $256a^8b^8 - 1$.