Номер 1397, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1397, страница 263.

Условие.

1397.Решите уравнение:

1) $3(x - 7)^2 - 2(x + 7)(x - 2) = (x + 11)(x - 4) + 101;$

2) $2x(x + 3)^2 - 3x(x - 1)(x + 8) = x^2(-x - 9) + 21;$

3) $y(2y - 5)(2y + 5) - 4y(y + 6)^2 = 13 - 48y^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Исходное уравнение: $3(x - 7)^2 - 2(x + 7)(x - 2) = (x + 11)(x - 4) + 101$.
Раскроем скобки в каждой части уравнения. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и правило умножения многочленов.
$(x - 7)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 - 14x + 49$
$(x + 7)(x - 2) = x^2 - 2x + 7x - 14 = x^2 + 5x - 14$
$(x + 11)(x - 4) = x^2 - 4x + 11x - 44 = x^2 + 7x - 44$
Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:
$3(x^2 - 14x + 49) - 2(x^2 + 5x - 14) = (x^2 + 7x - 44) + 101$
Теперь умножим на коэффициенты перед скобками:
$3x^2 - 42x + 147 - (2x^2 + 10x - 28) = x^2 + 7x - 44 + 101$
$3x^2 - 42x + 147 - 2x^2 - 10x + 28 = x^2 + 7x + 57$
Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:
$(3x^2 - 2x^2) + (-42x - 10x) + (147 + 28) = x^2 + 7x + 57$
$x^2 - 52x + 175 = x^2 + 7x + 57$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы приравнять его к нулю:
$x^2 - 52x + 175 - x^2 - 7x - 57 = 0$
Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$(-52x - 7x) + (175 - 57) = 0$
$-59x + 118 = 0$
Перенесем 118 в правую часть:
$-59x = -118$
Найдем $x$:
$x = \frac{-118}{-59}$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

2) Исходное уравнение: $2x(x + 3)^2 - 3x(x - 1)(x + 8) = x^2(-x - 9) + 21$.
Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и правило умножения многочленов.
$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$
$(x - 1)(x + 8) = x^2 + 8x - x - 8 = x^2 + 7x - 8$
Подставим в уравнение:
$2x(x^2 + 6x + 9) - 3x(x^2 + 7x - 8) = -x^3 - 9x^2 + 21$
Раскроем оставшиеся скобки:
$(2x \cdot x^2 + 2x \cdot 6x + 2x \cdot 9) - (3x \cdot x^2 + 3x \cdot 7x - 3x \cdot 8) = -x^3 - 9x^2 + 21$
$(2x^3 + 12x^2 + 18x) - (3x^3 + 21x^2 - 24x) = -x^3 - 9x^2 + 21$
$2x^3 + 12x^2 + 18x - 3x^3 - 21x^2 + 24x = -x^3 - 9x^2 + 21$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(2x^3 - 3x^3) + (12x^2 - 21x^2) + (18x + 24x) = -x^3 - 9x^2 + 21$
$-x^3 - 9x^2 + 42x = -x^3 - 9x^2 + 21$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую:
$-x^3 - 9x^2 + 42x + x^3 + 9x^2 - 21 = 0$
Слагаемые с $x^3$ и $x^2$ взаимно уничтожаются:
$42x - 21 = 0$
Решим полученное линейное уравнение:
$42x = 21$
$x = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

3) Исходное уравнение: $y(2y - 5)(2y + 5) - 4y(y + 6)^2 = 13 - 48y^2$.
Раскроем скобки. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(2y - 5)(2y + 5) = (2y)^2 - 5^2 = 4y^2 - 25$
$(y + 6)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 = y^2 + 12y + 36$
Подставим в уравнение:
$y(4y^2 - 25) - 4y(y^2 + 12y + 36) = 13 - 48y^2$
Раскроем оставшиеся скобки:
$(4y^3 - 25y) - (4y^3 + 48y^2 + 144y) = 13 - 48y^2$
$4y^3 - 25y - 4y^3 - 48y^2 - 144y = 13 - 48y^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(4y^3 - 4y^3) - 48y^2 + (-25y - 144y) = 13 - 48y^2$
$-48y^2 - 169y = 13 - 48y^2$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую:
$-48y^2 - 169y + 48y^2 - 13 = 0$
Слагаемые с $y^2$ взаимно уничтожаются:
$-169y - 13 = 0$
Решим полученное линейное уравнение:
$-169y = 13$
$y = \frac{13}{-169} = -\frac{1}{13}$
Ответ: $y = -\frac{1}{13}$.