Номер 1390, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса 7 класса - номер 1390, страница 262.

Условие.

1390. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $(n^2 - 3n + 1)^2 - n^4 - 8n^2 + 3n + 5$ кратно 6.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что значение выражения кратно 6 при любом натуральном $n$, необходимо сначала упростить данное выражение.

Исходное выражение: $(n^2 - 3n + 1)^2 - n^4 - 8n^2 + 3n + 5$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата многочлена:
$(n^2 - 3n + 1)^2 = (n^2)^2 + (-3n)^2 + 1^2 + 2(n^2)(-3n) + 2(n^2)(1) + 2(-3n)(1) = n^4 + 9n^2 + 1 - 6n^3 + 2n^2 - 6n = n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 6n + 1$.

Подставим полученное выражение в исходное и приведем подобные слагаемые:
$(n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 6n + 1) - n^4 - 8n^2 + 3n + 5 = (n^4 - n^4) - 6n^3 + (11n^2 - 8n^2) + (-6n + 3n) + (1 + 5) = -6n^3 + 3n^2 - 3n + 6$.

Теперь докажем, что полученное выражение $-6n^3 + 3n^2 - 3n + 6$ делится на 6 без остатка для любого натурального $n$. Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3, так как 2 и 3 — взаимно простые числа.

Докажем делимость на 3.
Вынесем 3 за скобки: $-6n^3 + 3n^2 - 3n + 6 = 3(-2n^3 + n^2 - n + 2)$.
Поскольку $n$ — натуральное число, выражение в скобках $(-2n^3 + n^2 - n + 2)$ является целым числом. Следовательно, все выражение делится на 3.

Докажем делимость на 2.
Сгруппируем слагаемые: $-6n^3 + 3n^2 - 3n + 6 = (-6n^3 + 6) + (3n^2 - 3n) = 6(1 - n^3) + 3n(n - 1)$.
Первое слагаемое, $6(1 - n^3)$, очевидно делится на 6, а значит, и на 2.
Рассмотрим второе слагаемое, $3n(n - 1)$. Произведение $n(n - 1)$ — это произведение двух последовательных натуральных чисел. Одно из этих чисел обязательно является четным, поэтому их произведение всегда делится на 2.
Так как $n(n - 1)$ делится на 2, то и $3n(n - 1)$ делится на 2.
Следовательно, выражение $6(1 - n^3) + 3n(n - 1)$ является суммой двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Значит, и вся сумма делится на 2.

Вывод:
Поскольку выражение $-6n^3 + 3n^2 - 3n + 6$ делится на 3 и на 2 при любом натуральном $n$, оно делится и на 6.

Ответ: Утверждение доказано.