Номер 1319, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1319, страница 253.

Условие.

1319. Имеется два водно-солевых раствора. Первый раствор содержит $25\%$ соли, а второй – $40\%$ соли. Сколько килограммов каждого раствора надо взять, чтобы получить $50$ кг раствора, содержащего $34\%$ соли?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ кг — это масса первого раствора с концентрацией соли 25%, а $y$ кг — масса второго раствора с концентрацией соли 40%.

По условию, общая масса итогового раствора должна быть равна 50 кг. Это дает нам первое уравнение:
$x + y = 50$

Теперь определим массу соли в каждом растворе.
Масса соли в первом растворе составляет $0.25 \cdot x$ кг.
Масса соли во втором растворе составляет $0.40 \cdot y$ кг.
В конечном растворе массой 50 кг должно содержаться 34% соли. Масса соли в нем будет равна $50 \cdot 0.34 = 17$ кг.

Сумма масс соли из двух исходных растворов должна быть равна массе соли в конечном растворе. На основе этого составим второе уравнение:
$0.25x + 0.40y = 17$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:
$$ \begin{cases} x + y = 50 \\ 0.25x + 0.40y = 17 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$:
$x = 50 - y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$0.25(50 - y) + 0.40y = 17$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$12.5 - 0.25y + 0.40y = 17$
$0.15y = 17 - 12.5$
$0.15y = 4.5$
$y = \frac{4.5}{0.15} = \frac{450}{15} = 30$
Значит, масса второго раствора (40%-го) равна 30 кг.

Найдем массу первого раствора, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 50 - 30 = 20$
Значит, масса первого раствора (25%-го) равна 20 кг.

Ответ: необходимо взять 20 кг первого раствора и 30 кг второго раствора.