Номер 1217, страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1217, страница 232.

Условие.

1217.Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + 2y = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 0, \\ 3x - y = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = -5, \\ 4x - y = -5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x + 3y = 6, \\ 3x - y = 9; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 2x + y = 8, \\ 2x - y = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 7x - 3y = -26, \\ y - 2x = 8. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков являются решением системы.

1) Решим систему $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + 2y = 7 \end{cases}$.

Для построения графиков выразим y через x в каждом уравнении.
1. Из первого уравнения $x - y = 1$ получаем $y = x - 1$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0; -1)$.
- если $x = 1$, то $y = 0$. Точка $(1; 0)$.
2. Из второго уравнения $x + 2y = 7$ получаем $2y = 7 - x$, то есть $y = -\frac{1}{2}x + 3.5$. Это также прямая. Найдем две точки:
- если $x = 1$, то $y = -0.5 \cdot 1 + 3.5 = 3$. Точка $(1; 3)$.
- если $x = 3$, то $y = -0.5 \cdot 3 + 3.5 = -1.5 + 3.5 = 2$. Точка $(3; 2)$.
Построив обе прямые на координатной плоскости, найдем их точку пересечения.
Точка пересечения имеет координаты $(3; 2)$.

Ответ: $(3; 2)$.

2) Решим систему $\begin{cases} x + y = 0, \\ 3x - y = 4 \end{cases}$.

1. Из $x + y = 0$ получаем $y = -x$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 0$. Точка $(0; 0)$.
- если $x = 2$, то $y = -2$. Точка $(2; -2)$.
2. Из $3x - y = 4$ получаем $y = 3x - 4$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = -4$. Точка $(0; -4)$.
- если $x = 1$, то $y = 3 \cdot 1 - 4 = -1$. Точка $(1; -1)$.
Построив графики, видим, что они пересекаются в точке $(1; -1)$.

Ответ: $(1; -1)$.

3) Решим систему $\begin{cases} x + y = -5, \\ 4x - y = -5 \end{cases}$.

1. Из $x + y = -5$ получаем $y = -x - 5$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = -5$. Точка $(0; -5)$.
- если $x = -5$, то $y = 0$. Точка $(-5; 0)$.
2. Из $4x - y = -5$ получаем $y = 4x + 5$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 5$. Точка $(0; 5)$.
- если $x = -2$, то $y = 4(-2) + 5 = -8 + 5 = -3$. Точка $(-2; -3)$.
Графики пересекаются в точке $(-2; -3)$.

Ответ: $(-2; -3)$.

4) Решим систему $\begin{cases} 2x + 3y = 6, \\ 3x - y = 9 \end{cases}$.

1. Из $2x + 3y = 6$ получаем $3y = 6 - 2x$, то есть $y = -\frac{2}{3}x + 2$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0; 2)$.
- если $x = 3$, то $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(3; 0)$.
2. Из $3x - y = 9$ получаем $y = 3x - 9$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = -9$. Точка $(0; -9)$.
- если $x = 3$, то $y = 3 \cdot 3 - 9 = 0$. Точка $(3; 0)$.
Графики пересекаются в точке $(3; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$.

5) Решим систему $\begin{cases} 2x + y = 8, \\ 2x - y = 0 \end{cases}$.

1. Из $2x + y = 8$ получаем $y = -2x + 8$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 8$. Точка $(0; 8)$.
- если $x = 4$, то $y = -2 \cdot 4 + 8 = 0$. Точка $(4; 0)$.
2. Из $2x - y = 0$ получаем $y = 2x$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 0$. Точка $(0; 0)$.
- если $x = 2$, то $y = 2 \cdot 2 = 4$. Точка $(2; 4)$.
Построив графики, находим точку пересечения $(2; 4)$.

Ответ: $(2; 4)$.

6) Решим систему $\begin{cases} 7x - 3y = -26, \\ y - 2x = 8 \end{cases}$.

1. Из $7x - 3y = -26$ получаем $3y = 7x + 26$, то есть $y = \frac{7}{3}x + \frac{26}{3}$. Точки для построения:
- если $x = -2$, то $y = \frac{7}{3}(-2) + \frac{26}{3} = -\frac{14}{3} + \frac{26}{3} = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(-2; 4)$.
- если $x = 1$, то $y = \frac{7}{3}(1) + \frac{26}{3} = \frac{33}{3} = 11$. Точка $(1; 11)$.
2. Из $y - 2x = 8$ получаем $y = 2x + 8$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 8$. Точка $(0; 8)$.
- если $x = -2$, то $y = 2(-2) + 8 = -4 + 8 = 4$. Точка $(-2; 4)$.
Графики пересекаются в точке $(-2; 4)$.

Ответ: $(-2; 4)$.