Номер 1223, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1223, страница 233.

Условие.

1223.Имеет ли решение система уравнений:

1) $ \begin{cases} 2x - 7y = 6, \\ 8x - 28y = 24; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x + y = -2, \\ 6x + 3y = 9; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + 2y = 0,5, \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} $?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, имеет ли система линейных уравнений вида$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $решение, можно проанализировать соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

• Если $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $, система имеет единственное решение (графики уравнений — пересекающиеся прямые).
• Если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $, система не имеет решений (графики — параллельные прямые).
• Если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, система имеет бесконечно много решений (графики — совпадающие прямые).

1) Рассматриваем систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 7y = 6 \\ 8x - 28y = 24 \end{cases} $

Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $.
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-7}{-28} = \frac{1}{4} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $.

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, уравнения в системе эквивалентны (второе уравнение получается из первого умножением на 4). Это означает, что графики уравнений совпадают. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: да, система имеет бесконечно много решений.

2) Рассматриваем систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = -2 \\ 6x + 3y = 9 \end{cases} $

Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{9} $.

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $, графики уравнений являются параллельными прямыми, которые не пересекаются. Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: нет, система не имеет решений.

3) Рассматриваем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 0,5 \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} $

Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2} $.
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{0,5}{2} = \frac{1}{4} $.

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $, графики уравнений являются параллельными прямыми. Можно также умножить первое уравнение на 2, чтобы получить $2x + 4y = 1$. Сравнивая с вторым уравнением $2x + 4y = 2$, получаем противоречие $1 = 2$. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет, система не имеет решений.