Номер 1229, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1229, страница 234.

Условие.

1229.При каких значениях a система уравнений:

1) $\begin{cases} 7x - 12y = 14, \\ 7x - 12y = a \end{cases}$

не имеет решений;

2) $\begin{cases} 6x + ay = 4, \\ 3x - 5y = 2 \end{cases}$

имеет бесконечно много решений?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 12y = 14, \\ 7x - 12y = a \end{cases} $

Данная система состоит из двух линейных уравнений. Левые части обоих уравнений одинаковы: $7x - 12y$.

Если бы система имела хотя бы одно решение (пару чисел $x_0, y_0$), то при подстановке этих чисел в оба уравнения левые части были бы равны. Следовательно, и правые части уравнений должны быть равны:

$14 = a$

Если $a = 14$, то оба уравнения в системе становятся идентичными ($7x - 12y = 14$). Это означает, что графики уравнений совпадают, и система имеет бесконечное множество решений.

Если же $a \neq 14$, то мы получаем противоречие: выражение $7x - 12y$ не может одновременно равняться двум разным числам. В этом случае не существует такой пары $(x, y)$, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям. Геометрически это означает, что уравнения описывают две параллельные, но не совпадающие прямые.

Таким образом, система не имеет решений, когда $a \neq 14$.

Ответ: при $a \neq 14$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 6x + ay = 4, \\ 3x - 5y = 2 \end{cases} $

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое число. Это означает, что коэффициенты при переменных и свободные члены должны быть пропорциональны.

Запишем условие пропорциональности для коэффициентов нашей системы:

$\frac{6}{3} = \frac{a}{-5} = \frac{4}{2}$

Вычислим значения известных отношений:

$\frac{6}{3} = 2$

$\frac{4}{2} = 2$

Оба отношения равны 2. Чтобы система имела бесконечное множество решений, отношение коэффициентов при $y$ также должно быть равно 2:

$\frac{a}{-5} = 2$

Решим это уравнение относительно $a$:

$a = 2 \cdot (-5)$

$a = -10$

При $a = -10$ первое уравнение системы ($6x - 10y = 4$) становится ровно в два раза "больше" второго ($3x - 5y = 2$), то есть они эквивалентны. Графики этих уравнений совпадают, и, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: при $a = -10$.