Номер 1228, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1228, страница 234.

Условие.

1228.При каком значении a имеет бесконечно много решений система уравнений:

1) $ \begin{cases} x + 5y = 4, \\ 4x + 20y = a \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x + ay = 12, \\ 9x - 15y = 36 \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда одно уравнение можно получить из другого умножением на некоторое число, не равное нулю. Геометрически это означает, что графики уравнений (прямые) совпадают. Алгебраически это условие выражается как пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных и свободных членов: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$

1) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 5y = 4 \\ 4x + 20y = a \end{cases} $$ Коэффициенты уравнений: $A_1 = 1$, $B_1 = 5$, $C_1 = 4$ и $A_2 = 4$, $B_2 = 20$, $C_2 = a$.
Чтобы система имела бесконечно много решений, должно выполняться равенство: $$ \frac{1}{4} = \frac{5}{20} = \frac{4}{a} $$ Проверим соотношение коэффициентов при $x$ и $y$: $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$. Это верное равенство, так как $\frac{5}{20}$ сокращается до $\frac{1}{4}$.
Теперь найдем значение $a$, приравняв отношение свободных членов к известному отношению коэффициентов: $$ \frac{1}{4} = \frac{4}{a} $$ Из этой пропорции находим $a$:
$1 \cdot a = 4 \cdot 4$
$a = 16$

Ответ: $a = 16$.

2) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x + ay = 12 \\ 9x - 15y = 36 \end{cases} $$ Коэффициенты уравнений: $A_1 = 3$, $B_1 = a$, $C_1 = 12$ и $A_2 = 9$, $B_2 = -15$, $C_2 = 36$.
Условие для бесконечного числа решений: $$ \frac{3}{9} = \frac{a}{-15} = \frac{12}{36} $$ Упростим известные отношения:
$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$
Так как отношения коэффициентов при $x$ и свободных членов равны, найдем $a$ из пропорции: $$ \frac{a}{-15} = \frac{1}{3} $$ Выразим $a$:
$a = \frac{1}{3} \cdot (-15)$
$a = -5$

Ответ: $a = -5$.